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und a' z in einem Punkte ;:., und auf dem Kegelschnitte k, welcher x y z 

 umschrieben ist und durch a, Zo geht, liegen die zu den Punkten von d 

 konjugierten Punkte. Auf k wird also auch der Punkt m' liegen. Wir er- 

 mitteln den zweiten Schnittpunkt ~., der Geraden z m mit k ; alsdann trifft 

 2, 2i den Kegelschnitt k nochmals in dem fraglichen Punkte m'. Oder man 

 denkt sich den Kegelschnitt k durch x, y, z, einen der Punkte a, a', etwa 

 den ersten, und durch m, ermittelt den Schnitt der Geraden, welche a' 

 mit einem der Punkte x, y, z verbindet, also etwa der Geraden a' z mit k 

 in z.2 ; alsdann legt die Gerade z, a auf ,v y den Punkt z^ fest und die Ge- 

 rade tf = 2i a' entspricht in früherer Weise dem Kegelschnitt k ; m z^ trifft k 

 noch im Punkte z-^ und z z^._ schneidet auf â den gesuchten Punkt m' ein. 

 Schneiden wir den Kegelschnittbüschel Z! mit irgend einer Geraden â. 

 Die Pole dieser Geraden inbezug auf alle Elemente dieses Büschels be- 

 schreiben den zu â entsprechenden Kegelschnitt k. Es sei n irgend ein 

 Punkt auf k, als Pol von d inbezug auf den Kegelschnitt {a) von Z" und a' 

 sein konjugierter, auf â liegender Punkt inbezug auf £. Projizieren wir 

 die Ecken x, y. z des Polardreiecks von 2 von a auf â nach x', y', z' ; wir 

 erhalten auf d die Involution x-^^ x' , y^ y' , z^ z' von Punkten, die inbezug 

 auf (a) konjugiert ist, da beispielsweise .v, der Pol der Geraden a x ist. 

 Projizieren wir diese Involution von a auf k. so erhalten wir eine Invo- 

 lution J, welche den Pimkt n' zum Pole hat. Die Polare .4 dieser Invo- 

 lution verbindet die Schnittpiniktc /j, 'o \on k mit den \-on a an [a] ge- 

 zogenen Tangenten. I3ie Gerade A geht durch den Pol d von d inbezug 

 auf k. Bewegen wir a auf k, so bewegt sich [a] im Büschel S und die Ge- 

 rade A dreht sich um den Punkt d; somit beschreibt das Punktepaar t^t.^ 

 eine Involution. Sind g, h die Schnittpunkte von d mit k, so sind ihnen 

 die Punkte g' ^ li urid h' ^ g konjugiert ; fällt also a mit g oder h zusam- 

 men, so berührt der Kegelschnitt ia] die Gerade in g resp. in h und die 

 Punkte des Punktepaares f^ L, fallen in h resp. g zusammen. 

 Wir können somit die diialen Sätze aussprechen: 

 Die Kegelschnitte eines Büschels 2J Die Tangenten an die Kegelschnitte 

 werden von jeder Geraden â seiner einer Schar £ von irgend einem 

 Ebene in einer Punkiinvolulion ge- Punkte â ihrer Ebene bilden eine 

 schnitten ; die Tangenten in den Strahleninvolution ; die Berührungs- 

 Schnittpunkten von â mit jedem Ke- punkte der Tangenten durch ä an 

 gelschnitte schneiden sich in einem jeden Kegelschnitt bestimmen eine 

 Punkt a, ivelcher einen dem Polar- Gerade a, xvelche einen dem Polar- 

 dreieck von 2 umschriebenen Kegel- dreiseit von 2 eingeschriebenen Kegel- 

 schnitt k beschreibt. Der Kegelschnitt schnitt k umhüllt. Dieser Kegelschnitt 

 k schneidet die erwähnten Tangenten entsendet nach den erwähnten Beriih- 

 leieiter noch in einem Punktepaar t^, t., ritngspunkten xveiter noch ein Tan- 

 und alle so erhaltenen Punktepaare gentenpaar t^ /., ; alle so erhaltenen 

 bilden eine Involution, ivelche die Ge- Tangentenpaare bilden eine Involu- 

 radc â zur Polare hat. tion, welche den Punkt d zum Pole hat. 



