Schreibt man dabei die Kurvenschar (2), welche diesem Falle ent- 

 spricht, in der Form: 



03 [x, y, t) = const., 



so ergeben sich aus (4) die Difterentialgleichimgen: 



dE 

 TT 



dt 



di 



=^ a E + 10 — ff) 



= gF + [G' 



gG + (ff — ff) 



/ d OD \~ 



(5) 



z/ 05 



\Bv) 



/i 0} 



Wenn E, F, G gegebene Funktionen von ii, v, t sind, so kann man 

 nach ff, ff und œ fragen. Dies wäre nichts anderes als die Bestimmung für 

 den Wert t derjenigen Orthogonalsysteme von Kurvenscharen, welche 

 auch für den Wert t -\- dt Orthogonalsj-steme sind und die Bestimmung 

 der Dilatationen, welche dabei die Linienelemente dieser Orthogonal- 

 systeme erfahren. Diese Frage wird durch die bekannten elementaren 

 Betrachtungen über Flächendeformationen beantwortet und darauf werden 

 wir hier nicht eingelien. 



Man kann sich aber anderseits die Größen u, ff, ff als gegebene Funk- 

 tionen der Veränderlichen u, v, i denken und solche Funktionen E. F, G 

 dieser Veränderlichen bestimmen suchen, bei welchen die Dilatationen 

 ff und ff der Finienelemente der Kurven m = const, und deren orthogonalen 

 Trajektorien zu stände kommen. Dies bildet nämlich den Zweck des ge- 

 genwärtigen Artikels. 



2. Um diesen Zweck zu erreichen, müssen die Unbekannten E, F, G 

 aus den Differentialgleichungen (5) durch Intergration bestimmt werden. 



Wir machen zunächst zwei Bemerkungen. 



Benutzt man die Bezeichnung: 



T = Y EG — F', 



so läßt sich durch eine einfache Rechnung aus den Gleichungen (5) die 

 Gleichung : 



ar 1 



-^^^[c + G)T. (6) 



erhalten. Beachtet man, daß -— g und -^ ff lineare Dilatationen sind und 

 daß der Flächeninhalt der Fläche durch das Integral: 



\ i T du dv 



