mittclcbcne^) der Kongruenz [.Vj, J'2] und in die tniendlich ferne Ebene 

 über. Wir werden aber im folgenden die Fläche ü^ als haniionischc Fläche 

 der linearen Kongruenz [xj, yî\ in Bezug auf die Fläche H^ bezeichnen. . 



Es sei P* das projektiv verallgemeinerte Zylindroid, das durch die ab- 

 solute Fläche Hj^ und die hneare Kongruenz [a,. yi\ bestimmt ist. Betrachten 

 wir jetzt ein beliebiges Geradenpaar x, , y\ derjenigen ausgezeichneten 

 Involution auf P*, zu welcher auch das Paar [xo, ^'2] angehört, und suchen 

 wir jetzt die harmonische Fläche H^gi ^^^ linearen Kongruenz [x^, vj in 

 Bezug auf die absolute Fläche H^^. Auf dieser harmonischen Fläche liegt 

 wieder die Raumkurve f*-, weil nach den obigen Betrachtungen längs der 

 Kurve />* die Fläche Hi" jede Gerade berühren muß, welche sich auf zwei 

 windschiefen Geraden bewegt, die ein Paar derjenigen ausgezeichneten 

 Involution bilden, zu welcher auch das Geradenpaai x^, y^^ angehört. 

 Weiter liegt auf der harmonischen Fläche H-gj auch das windschiefe 

 Vierseit, dessen 4 Ecken auf der Fläche H-j seine beiden Diagonalseiten 

 A-'j, y'i ausschneiden. Ganz analogisch liegt auf der Fläche H-j das wind- 

 schiefe Vierseit mit den Diagonalseiten a.,, y^. 



Diese beiden Vierseite liegen aber, wie wir in der hier schon zitierten 

 Arbeit gezeigt haben, wieder auf einer Fläche 2. Grades, welche durch das 

 zweite ausgezeichnete Vierseit der P* Fläche hindurchgeht, und welche 

 auch die Raumkurve f* enthält. Daraus geht aber sofort die Identität 

 der beiden Flächen ïi^ und H.,^- hervor. Wir können also folgenden Satz 

 aussprechen, in welchem wir die P^ Fläche als verallgemeinertes Cylindroid 

 betrachten werden. 



Die harmonische Fläche Vi.^ der gegebenen linearen Kongruenz in 

 Bezug auf gegebene Fläche 2. Grades ist gleichzeitig harmonische Fläche 

 aller oo^ linearen Kongruenzen, deren Leitgeradenpaare das verallgemeinerte 

 Zylindroid erfüllen, das durch die lineare Kongruenz [x^, y.^] und die Fläche 

 Hj^ als absolute Fläche bestimmt ist. Die Leitgeradenpaare dieser linearen 

 Kongruenzen bilden diejenige ausgezeichnete Involution auf P*, zu welcher 

 auch das Geradenpaar x^, v^ angehört. 



Aus den vorhergehenden Betrachtungen isr ersichtlich, daß jede von 

 den Flächen H,- und Ha^ durch ein ausgezeichnetes Vierseit auf der P'* Fläche 

 hindurch geht, von welchen zweien Vierseiten wir in der hier oft zitieiten 

 Arbeit von den P* Flächen gezeigt haben, daß jedes Paar von den Gegen- 

 seiten des einen Vierseits mit jedem Paare von den Gegenseiten des anderen 

 ein harmonisches Geradenquadrupel bildet. Wir haben die beiden Vier- 

 seite als zwei Vierseite in harmonischer Lage bezeichnet. 



1) Unter der Hauplmiitelebene der lin. Kongruenz verstehen wir nach S t. 

 Jolies (siehe die Abh.: Fokaltheorie der linearen Strahlenkongruenzen. Math. 

 Annalen Bd. 63., p. 35) die Ebene, die in dem Mittelpunkte der linearen Kongruenz 

 zu der Hauptachse derselben senkrecht steht. Dieselbe Ebene wurde von P 1 ü c k e r 

 als Zentralebene bezeichnet. (Siehe R. Sturm: Liniengeometrie I. Band, p. 154.) 



