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Wir werden jetzt zwei Flächen 2. Grades Hj- und Hj-, von welchen 

 jede durch ein Vierseit von zwei in harmonischer Lage sich befindlichen 

 Vierseiten hindurchgeht, als zwei Flächen 2. Grades in harmonischer Lage 

 bezeichnen. 



Zwei Flächen 2. Grades in harmonischer Lage bestimmen eine P* 

 Fläche. Auf dieser Fläche existieren zwei ausgezeichnete Involutionen der 

 Geradenpaare x^, y^ und X2, yz. Die Fläche Hj'' ist dann die harmonische Fläche 

 aller 00 1 linearen Kongruenzen [x^, y\] in Bezug auf die Fläche Hg-, und die 

 Fläche H2'' ist die harmonische Fläche der qo^ linearen Kongruenzen [x.^, yzl- 

 Wir sehen also, daß von zwei Flächen 2. Grades in harmonischer Lage 

 jede von diesen beiden Flächen die harmonische Fläche von 00 ^ linearen 

 Kongruenzen in Bezug auf die andere Fläche ist. Weiter sehen wir, daß 

 jede beliebige harmonische Fläche einer beliebigen linearen Kongruenz in 

 Bezug auf eine bestimmte Fläche 2. Grades mit dieser Fläche in harmo- 

 nischer Lage ist. Aus unseren Betrachtungen geht auch hervor, daß zwei 

 Flächen 2. Grades in harmonischer Lage in einer Raumkurve 4. Ordnung 

 welche eine ausgezeichnete Kurve p* für diese beiden Flächen ist, sich 

 schneiden. 



Als zwei Flächen 2. Grades in harmonischer Lage, können wir auch 

 ein beliebiges orthogonales Paraboloid und ein mit ihm koncentrisches 

 Rotationscylindroid betrachten. Die zugehörige P* Fläche geht dann 

 in ein Plückeisches Konoid und die unendlich ferne Ebene über. 



3. Das projektiv verallgemeinerte A- Komplex ist ein harmonischer 

 Komplex. 



Betrachten wir zwei Flächen 2. Grades in harmonischer Lage, die 

 Flächen H^- und Hg'-. Diese beiden Flächen bestimmen eine gewisse P* 

 Fläche und betrachten wir diejenige ausgezeichnete Inwolution der Ge- 

 radenpaare x^, Yj auf dieser Fläche, welche gleichzeitig die Paare von 

 konjugierten Polaren der Fläche H^^ bilden. Eine beliebige Gerade p der 

 linearen Kongruenz [x^, y^} schneide die Flächen H^^, Hg" und die Leit- 

 geraden x^, y.^ in den Punktepaaren: H^, H^' ; H-, Ho ', X^, Y^. Nach vor- 

 angehenden unseren Betrachtungen ist die Fläche H^- harmonische Fläche 

 aller 00 1 linearen Kongruenzen [x-^ y-^ in Bezug auf die Fläche }i^. Es 

 gelten also die beiden harmonischen Doppelverhältnisse: 



{H„ \\, H,. H,') = — 1 {H„ H,', H„ H,') = - l. 



Die Gerade /) durchlauft, indem sie eine Geradevon den 00 Minearen 

 Kongruenzen [a^j, Vt] ist, 00* verschiedene Lagen und erfüllt also einen Kom- 

 plex, und zwar den sogenannten projektiv verallgemeinerten A^ Komplex. *) 

 Wir haben hier also jene Eigenschaft des verallgemeinerten A* Komplexes 



1) Siehe § 3 meiner hier schon zitierten Arbeit: Beitrag zur Theorie der 

 linearen Systeme von linearen Strahlenkomplexeh. 



Bulletin international XX. Iß 



