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?•* Fläche schneiden. Aber jeden harmonischen quadratischen Komplex 

 können wir auch auf duale Weise erzeugen, indem wir die Geraden im 

 Räume suchen, von denen die zu den beiden Flächen kommenden Berüh- 

 rungsebenen ein harmonisches Quadrupel bilden. Wir können dann fol- 

 genden Doppelsatz aussprechen: 



Der geometrische Ort der Geraden, Der geometrische Ort der Geraden, 



welche zwei Flächen 2. Grades in von welchen die Berührtmgsebenen zu 

 harmonischer Lage harmonisch teilen, zwei Flächen 2. Grades in harmoni- 

 ist der projektiv verallgemeinerte A- scher Lage sich harmonisch teilen, 

 Komplex. ist der projektiv verallgemeinerte A- 



Komplex. 



Als einen Specialfall dieses Doppelsatzes können wir für den ge- 

 wöhnlichen A^ Komplex folgenden Doppelsatz aussprechen: 



Der geometrische Ort der Geraden, Der geometrische Ort der Geraden, 



welche ein orthogonales Paraboloid von denen die zu einem orthogonalen 

 und ein mit ihm konzentrisches Ro- Paraboloide und einem Kreise in der 

 tationszylindroid harmonisch teilen, unendlich fernen Ebene, dessen Mittel- 

 ist der A- Komplex. punkt auf der Achse des Paraboloides 



liegt, kommenden Berührtmgsebenen 

 sich harmonisch teilen, ist der A^ 

 Komplex. 



Als Specialfall des letzten Satzes kennen wir den in der ,, Linien- 

 geometrie III." von R. Sturm angeführten Satz,^) daß man den A^ 

 Komplex als den Painvinschen Komplex für das gegebene ortho- 

 gonale Paraboloid betrachten kann. Wir brauchen bloß den in unserem 

 letzten Satze betrachteten Kreis durch den imaginären Kugelkreis ersetzen. 



4. Über zwei kubische Systeme von oo^ und oo' Flächen 2. Grades. 



Betrachten wir jetzt das System aller oo' ausgezeichneten Raum- 

 kurven p^ auf der gegebenen Fläche 2. Grades H-. Jede Kurve />* bestimmt 

 einen Büschel von oo^ Flächen 2. Grades, und wir gelangen also von einer 

 gegebenen Fläche 2. Grades H^ zu einem Systeme von oo^ Flächen 2. Grades, 

 welche diese Fläche immer in einer ausgezeichneten Raumkurve />* schneiden. 

 Wir wollen jetzt den folgenden Satz beweisen: 



Das System aller oo^ Flächen 2. Grades, welche eine gegebene Fläche 

 2. Grades in ihrer ausgezeichneten Kurve p^ schneiden, ist ein kubisches 

 System. 



Dieses System wollen wir mit 2^8^ bezeichnen, und daß es ein ku- 

 bisches System ist, werden wir dadurch beweisen, indem wir zeigen werden, 



1) ibidem Nr. 860. 



