Involution ist aber, wie wir oben gezeigt haben, ein Paar von konjugierten 

 Polaren jeder Fläche 2. Grades des ersten ausgezeichneten Büschels^j, also 

 auch der Fläche Hj-, die zu diesem Büschel angehört. Wir können also die 

 P^ Fläche als den geometrischen Ort der konjugierten Polaren x^^, y^ der 

 Fläche Hj2. welche gleichzeitig immer ein hyperboloidisches Quadrupel 

 mit den beiden Geraden x^, v., bilden, definieren. 



Auf diese Weise haben wir aber das sogenannte verallgemeinerte 

 Zylindroid in der hier schon zitierten Abhandlung ,,Uber das ver- 

 allgemeinerte Cylindroid" definiert. Die Geraden x^, V2 wurden da als die 

 Geraden m, n bezeichnet und die absolute Fläche 31- hatte dieselbe 

 Bedeutung wie die Fläche H^-. Zu derselben Regelfläche P* gelangen wir 

 also auf dieselbe Weise von jedem Geradenpaare der cc^ Paare x,^, y^ der 

 zweiten ausgezeichneten Involution, und von jeder Fläche der ooi Flächen 

 Hj- des Büschels Sj. Wenn wir in unseren Betrachtungen die beiden aus- 

 gezeichneten Involutionen vertauschten, dann könnten wir zu derselben 

 P* Fläche gelangen von jedem Geradenpaare der ersten ausgezeichneten 

 Involution X-^, y^ und von jeder Fläche Hg- des zweiten ausgezeichneten 

 Bücheis 2^2. 



Daß umgekehrt jedes verallgemeinerFe Zylindroid P* Fläche ist ist 

 ersichtlich aus der Existenz der beiden ausgezeichneten Vierseite auf 

 dem verallgemeinerten Zylindroide. Denn es ist ja bekannt, wenn nur ein 

 windschiefes Vierseit auf der Regelfläche 4. Grades mit zwei Leitgeraden 

 existiert, daß dann ooi derartige existieren. Die Fläche muß dann also P* 

 Fläche sein. 



Wir zeigen jetzt, wie wir die Mannigfaltigkeit ooi^ aller P* Flächen 

 bekommen, wenn wir dieselben als verallgemeinerte Zylindroide betrac hten, 

 welche durch eine absolute Fläche 3(2 und zwei beliebige Geraden m, n ge- 

 geben sind. Die Mannigfaltigkeit der Fläche 31^ ist 00^ und der beiden Ge- 

 raden 00'. Wir bekommen also die Mannigfaltigkeit ooi'. Diese Mannig- 

 faltigkeit müssen wir aber um 2 erniedrigen, wenn wir in Betracht nehmen, 

 daß man die Fläche 3(- als Hj- oder H2- auf «1 verschiedene Weise imd 

 ebenso das Geradenpaar m, n, als das Geradenpaar X2, y^ oder x-^, y^ auch 

 auf 00' Weise wählen kann. 



Unsere Resultate können wir dann in folgenden Satz fassen: 



Jede P^ Fläche kann man auf oo^ verschiedene Arten als ein verallge- 

 meinertes Zylindroid betrachten, und jedes verallgemeinerte Zylindroid ist 

 P* Fläche. 



Das sogenannte Plückersche Konoid oder Zylindroid, wenn wir es 

 zusammen mit der unendlich fernen Ebene betrachten, ist ein specieller 

 Fall der P* Fläche. Es existieren auf ihm also auch zwei ausgezeichnete 

 Vierseite, welche zwei Flächenbüschel U^ und .£, definieren. Das erste aus- 

 gezeichnete Vierseit bilden bei dem Plückerschen Konoide K^ die beiden zu 

 sich senkrechten Erzeugenden r, s, des Konoides, die durch seinen Mittel- 



