Ein Hyperboloid s^ durch acht Punkte a, b . . . h wird bestimmt 

 sein, wenn wir die Verbindungsgerade von zwei Punkten, etwa ä~b ^ P, 

 als eine Leitlinie desselben annehmen; denn der neunte, die Fläche e^ 

 bestimmende Punkt kann auf der Geraden a b beliebig angenommen 

 werden. Wir legen nun durch je drei weitere Punkte die Ebenen (c d e) ^ ç, 

 {f gh) ^ 0, welche «^ in zwei Kegelschnitten R^, S^ schneiden werden. 

 Diese Kurven müssen sich, weil sie auf «^ liegen, in zwei, auf der Schnittlinie 

 der Ebenen ç g ^0 liegenden Punkten x, y schneiden, welche wir erhalten 

 wie folgt. Schneidet die Leitlinie P die Ebene q im Punkte r, so geht der 

 Kegelschnitt R^ durch die Punkte c, d, e, r, gehört also einem Kegelschnitt- 

 büschel an, welcher die Gerade in einer Punktionvolution / schneidet. 

 Zwei Punktepaare derselben Wj m^, n^ n^ erhalten wir als Schnitte der 

 Geraden mit den degenerierten Kegelschnitten des Büschels, welche 

 aus den Geraden cd, er; ce, d r bestehen. Ist ferner der Schnittpunkt 

 (P a) ^ s, so gehört der Kegelschnitt S^ einem zweiten, in der Ebene <y 

 liegenden Büschel an, dessen Grundpunkte /, g, h, s sind. Dieser Büschel 

 schneidet aus eine zweite Punktinvolution /' aus, deren zwei Paare 

 P1P2' ^1^2. wir in den Schnittpunkten der Geraden fg,hs; fh, gs mit 0" 

 erhalten. Nun konstruieren wir die Punkte x, y als gemeinsames Punktepaar 

 der beiden Involutionen /, /' auf 0, dann die Kegelschnitte R^, S^ in den. 

 Ebenen ç, aus den Punkten c, d, e, x, y resp. /, g, h, x, y gleichviel, ob 

 X, y reell oder imaginär sind.i) 



Durch die Leitlinien P, R^ S^ ist das Hyperboloid s^ bestimmt ; die 

 Gerade P schneidet R^, S^ in den Punkten r, resp. s, und die Kegelschnitte 

 R^, S^ schneiden sich in den auf liegenden Punkten x, y. Jede Ebene, 

 welche durch die Gerade P gelegt wird, schneidet die Kurven W-, S^ (außer 

 r, s) in zwei Punkten, deren Verbindungsgerade eine Erzeugende von «^ gibt. 



Ebenso legen wir durch dieselben acht Punkte a, b . . . h ein zweites. 

 Hyperboloid ca^, deren eine Leitlinie etwa die Verbindungsgerade c d ^ Q' 

 ist, und konstruieren zwei Leitkegelschnitte U^, V'^ wie oben R^, S^. 



Jede durch den neunten gegebenen Punkt k gelegte Ebene r schneidet 

 nun die Hyperboloide e^, co^ in zwei Kegelschnitten G^, H^ und den Flächen- 

 büschel U in einem Kegelschnittbüschel, welcher durch G^, H^ bestimmt 



1) Wir projizieren die Involutionen /, /' auf eine beliebige Kreislinie U aus. 

 irgend einem auf f/ liegenden Punkte t, bestimmen die Mittelpunkte £, cp der beiden 

 auf U erhaltenen Involutionen, ferner die Schnittpunkte |, r] der Geraden £ qp mit U, 

 und projizieren die Punkte I, t] aus dem Punkte t zurück auf die Gerade O in die 

 Punkte X, y. Sind jedoch die Punkte |, r], daher auch x, y imaginär, so suchen wir- 

 den Pol S des Kreises U zur Polare Fy, ziehen durch ihn zwei Sekanten, und piojizieren 

 ihre Schnittpunkte mit U aus dem Punkte t auf die Gerade O ; damit sind zwei 

 Punktepaare der elliptischen Involution /" auf O gefunden, welche die Punkte x, y- 

 als imaginäre Doppelpunkte von 7" genügend bestimmen. /" ist dieselbe Involution 

 harmonischer Pole, welche beide Kurven R-, S'^ auf O erzeugen ; weiters sind Kon- 

 struktionen von Kegelschnitten aus konjugiert-imaginären Punkten (wie x, y), 

 bekannt. 



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