ist ; der in demselben enthaltene und durch den Punkt k gehende Kegel- 

 schnitt K^ liegt auf der gesuchten Fläche tp^. Wir brauchen jedoch nur 

 die Schnittpunkte von G^ und H^, als Grundpunkte des Büschels, durch 

 welche auch K^ gehen muß. Es wird von Vorteil sein, die Ebene r durch 

 den Punkt k und die Gerade P ^a b zu legen. Dieselbe schneidet das 

 Hyperboloid e^ in der Geraden P und in einer zweiten Geraden Pj (Ver- 

 bindungsgerade der Schnittpunkte von t mit R^, S^), so daß der Schnitt G^ 

 von r mit e^ in die Geraden P, P^ zerfällt. Die Ebene r schneidet ferner 

 die Leitlinien Q, U^, V^ (des Hyperboloides co^) in fünf Punkten, welche 

 den Kegelschnitt (r o»^) ^ H^ bestimmen ; die Schnittpunkte (P^ H^) ^m, n 

 können wir bekanntlich konstruieren, ohne die Kurve H^ zu verzeichnen ; 

 und die Gerade P schneidet das Hyperboloid a^, also auch die Kurve H^ 

 in den Punkten a, b. Durch die fünf Punkte a, b, m, n, k legen wir den Kegel- 

 schnitt K^, welcher der gesuchten Fläche (p^ angehört. 



Die Ebenen {cde), [f gh) schneiden den Kegelschnitt K^ in den 

 Punkten /, t, resp. u, v ; wii zeichnen noch die Kegelschnitte [c d elf) ^ L^. 

 {f g h u v) ^ M^, welche auf (p^ liegen. Die gesuchte Fläche qp- ist durch die 

 drei Kegelschnitte K^, U-, M^ bestimmt und die Aufgabe gelöst. Unsere 

 ]\Iethode erfordert also die Verzeichnung von nur vier Hilfskegelschnitten 

 R^, S^, U^, V^\ sämtliche übrigen Konstruktionen können mit Geraden 

 und Kreislinien ausgeführt werden. 



II. 



Im zweiten Falle konstruieren wir zwei windschiefe Hyperboloide 

 ê^, gP", welche acht, etwa «... A von den neun gegebenen Ebenen a, ß, y, 

 d, s, tp, X, X, n berühren.^) Sie bestimmen eine Flächenschar Sl, welche die 

 gesuchte Fläche ep^ enthält, und eine abwickelbare Umhüllungsfläche 

 vierter Klasse A^^. Wir bedürfen jedoch der Fläche A^^ nicht, und es wird 

 auch hier genügen, von den Hilfshyperboloiden e^, a^ je drei Leithnien 

 zu bestimmen. 



Das Hyperboloid s^ aus acht Berührungsebenen «, /3 . . . A wird 

 bestimmt sein, wenn wir die Schnittlinie von zwei Ebenen, etwa aß^P 

 als eine Leitlinie desselben annehmen; denn die neunte, die Fläche s^ 

 bestimmende Ebene kann durch die Gerade cTß beliebig gelegt werden. 

 Bezeichnen wir die Schnittpunkte je dreier Ebenen {y â s) ^ r, (9? x A) e^ s. 

 Aus ihnen wird das Hyperboloid s^ durch zwei Kegel ç^, a^ projiziert, welche 

 zwei gemeinsame Berührungsebenen |, rj besitzen, und diese gehen durch 

 die Schnittlinie "qö^^O ; es sind die Berührungsebenen, welche die Gerade 



1) Diese Aufgabe ist zur I. dual; dennoch wird es vorteilhaft sein, in einigen 

 Konstruktionen vom streng reziproken Vorgange abzuweichen. — Auch hier setzen 

 wir voraus, daß keine acht von den gegebenen Ebenen ,, assoziiert" sind, wie z. B. 

 die gemeinsamen Berührungsebenen von drei Flächen II. Ordnung. 



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