Kegel «2 konstruieren. Mit den drei Kegelschnitten A^, B^, C^ ist die Auf- 

 gabe gelöst. 



III. 



Ein spezieller Fall der IL Aufgabe ist das durch acht Berührungsebenen 

 aß'ydsq)xk gegebene Paraboloid ; die neunte Berührungsebene n ist 

 im Unendlichen. Wir konstruieren die beiden Hyperboloide a^, o^ aus den- 

 selben Elementen wie in der II. Aufgabe. Die Leitlinie P ^ a ß des Hyper- 

 boloides «2 schneidet die Ebene « im unendlich fernen Punkte v, so daß 

 die durch v gehende Erzeugende (des zweiten Systems) P^ IIP. Wir be- 

 stimmen die Gerade Pj auf s^ und legen durch dieselbe die Berührungs- 

 ebenen T, d" an das zweite Hyperboloid ra^. Die Ebenen u, ß, x, d- sind ge- 

 meinsame Berührungsebenen der Hyperboloide s^, ca^, folglich auch Tan- 

 gentialebenen des gesuchten Paraboloides qp^. Diese vier Ebenen gehen durch 

 denselben unendlich fernen Punkt y ; wir können daher zu ihnen einen para- 

 bolischen Berührungszylinder «^ konstruieren, welcher das Paraboloid (p^- 

 längs einer Parabel A'^ berühren wird ; und diese erhalten wir wie folgt. Wir 

 bestimmen die Berührungspunkte /, g der Ebene a auf den Hyperboloiden 

 ■s^, 03^, und die Gerade R, längs welcher die Ebene « den Zylinder «^ berührt ; 

 verbinden Yg'^F. Die Ebene « berührt (wie in der IL Aufgabe) das 

 Paraboloid cp^ im Schnittpunkte {F R) ^ a. Analog erhalten wir die Be- 

 rührungspunkte b, t, u der Ebenen ß, t, 9" auf cp^. Die Punkte a, b, t, u 

 müssen in einer Ebene a liegen, weil der Zylinder in diesen vier Punkten 

 das Paraboloid qp^ berührt, ihm sonach umschrieben ist und dasselbe längs 

 einer Parabel A'^ berühren muß ; wir konstruieren demnach diese Parabel 

 aus den Punkten a, b, t, u. Außerdem sind die Schnittlinien der Ebenen 

 aa, ß 6 . . . Tangenten der Parabel A^ in den Punkten a, b . . ., der Schnitt- 

 punkt [aa, ßä) ^p ist der Pol zur Polare a b, also die Gerade X-^, welche 

 p mit dem Mittelpunkte der Sehne a b verbindet, ein Durchmesser der Pa- 

 rabel A^ ; die Gerade X^ ist sonach parallel zur Achse der Parabel A^ und 

 zugleich zur Achse X des Paraboloides (p^. Analog bestimmen wir noch 

 einen Punkt s auf (p^ mittels eines zweiten Tangentialzylinders ß^, welcher 

 parallel ist zu einer anderen (beliebigen) Erzeugenden N des Hyperbo- 

 loides e^, und legen durch den Punkt s eine Ebene ip _L X^^, welche die 

 Parabel A''' in zwei Punkten ni, n schneidet ; i/; schneidet ferner die an den 

 Zyhnder «^ durch m, n gelegten Berührungsebenen ii, v in den Geraden 

 ip (i^ M, i}) v^T, und das Paraboloid (p^ in einem Kegelschnitte C^. 

 Diesen verzeichnen wir aus den Punkten s, m, n und den Tangenten M, T. 

 Durch den Mittelpunkt o von C^ geht die Achse des Paraboloides X II Xj. 

 Ist Wj der Schnittpunkt der Ebene fi mit der Achse X, so gibt der Mittel- 

 punkt V der Strecke o m^ den Scheitel des Paraboloides g?^. Der Scheitel v, 

 die Achse X und die Kurve C^ lösen die Aufgabe. Je nach dem Charakter 

 der Kurve C^ ist das Paraboloid qp^ elliptisch oder hyperbolisch. 



