IV. 



Wir fügen noch die Aufgabe hinzu: ein Paraboloid sei durch acht 

 Punkte a, b, c, d, e, f, g, h gegeben. Durch die gegebenen Punkte legen wir 

 zwei windschiefe Hyperboloide ê^, gP- wie in der I. Aufgabe. Die unendlich 

 ferne Ebene schneidet das Flächenbüschel H [e^ g>^) in einem Kegelschnitt- 

 büschel S, welches durch die unendhch fernen Kegelschnitte K^, JJ- der 

 Hyperboloide ^, afi bestimmt ist ; die Grundpunkte des Büschels S sind 

 •die (reel. o. imag.) gemeinsamen Punkte m, n, p, q der Kurven K^, L^. 

 Die degenerierten Kegelschnitte des Büschels m n, 'p~q ; m~p, nq ; m q, fTp 

 sind unendhch enfernte Gerade von drei Paraboloiden, welche der Aufgabe 

 genügen. Die Diagonalpunkte {m n, p~q) ^ x, {m p, ïTq)^ y, {m q, np) ^ z 

 •des vollständigen Viereckes m n p q sind die unendhch fernen Punkte 

 ■der Achsen X, Y, Z der Paraboloide und zugleich Ecken des gemeinsamen 

 Poldreieckes x y z im. Büschel S. Um dieselben zu erhalten, projizieren 

 wir aus einem beliebigen Punkte s im Räume die unendlich fernen Kurvten 

 K^, U-\ wir ziehen durch s Parallele zu fünf Erzeugenden des Hyperboloides 

 i^, schneiden sie durch eine beliebige Ebene a, und verbinden die Schnitt- 

 punkte durch einen Kegelschnitt K^ ; ebenso bekommen wir die Zentral- 

 projektion L^ der Kurve U- aus s auf 6. Ferner konstruieren wir das ge- 

 meinsame Poldreieck x-^ y-^ z^ der Kurven K-^, L^ und verbinden Tx^ ^ Xj, 

 s Vj ES Yj, s z^^ Zj. Diese Strahlen sind die Richtungen der Paraboloid- 

 achsen. Nun können drei Fälle eintreten: 1. alle vier gemeinsamen Punkte 

 m^, Wj, p^, q^ der Kurven K^, L^, somit auch das A ^i Jxh sind reell: alle 

 drei Paraboloide sind reell und hyperbolisch. 2. Alle vier Punkte sind 

 imaginär (zu zweien konjugiert), so daß nur zwei ihrer Verbindungsgeraden, 

 €twa «?i 11^, p^ q^ (Kollineationsachsen von K-^, L^) reell sind, das A x^Vih 

 ist jedoch ganz reell; in diesem Falle sind auch alle drei Paraboloide 

 reell, aber nur das eine ist hyperbolisch [sein unendlich ferner Punkt 

 {mn, p q) ^x'], die übrigen zwei sind elliptisch (unendlich ferne Punkte 

 y, z). 3. Zwei Grundpunkte sind reell, etwa Wj, n^, die übrigen q, d^ konju- 

 giert imaginär, sonach wieder nur zwei Verbindungsgeraden m^ n^, P-^ q^ 

 reell ; das A ^i Jx h ^^"^ i^^r ^^^ Ecke x^ und die Gegenseite p^ qx (mir der 

 Lage nach) reell, während die auf derselben liegenden Ecken y,, z-^^ imaginär 

 sind. Ein Paraboloid ist somit reell und hyperbolisch, die übrigen zwei 

 sind imaginär. 



Um nun das erste Paraboloid g)^ 2u konstruieren, dessen Achse Ä' 

 die schon gefundene Richtung Tx^ se X-^ hat, legen wir durch zwei von den 

 acht gegebenen Punkten, etwa a, b die Ebene a II Xj und verzeichnen 

 die Parabel A^ als Schnitt der Ebene « mit tp^. Zu dem Ende ziehen wir in 

 der Ebene a eine Gerade R II Xj^ welche den Büschel H in einer Punktinvo- 

 lution schneidet, deren zwei Punktcpaare /^ /,, gxg2 '^^'ir in den Schnitt- 

 punkten der Geraden R mit den Hyperboloiden f-, œ^ erhalten ; und da die 

 Gerade R das Paraboloid ç)- im Unendlichen schneidet, so wird der zweite 



