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fix. I) 





27 



k=.l 



1 , ^ + * 



V «A e/ft (.r), 



d'^ 



CCk 



Jk {X) = 



k\ da'' 

 1 



{a*-3Z)(a)}, 



-{(s-«)^(v(a; + 6)^-'Va;0'[^„ 



(4) 



(Ä+ 1)! ^s*+' 



Die Zahl £ ist eine beliebige auf die Ungleichung 



[;r] + 1 > X + £ 

 gebundene reelle Konstante. 



Wenn wir diese allgemeinen Resultate auf den speziellen Fall 



D{s)=log^[s) 



benützen, so bekommen wir endlich mittels der letzten Formel eine Reihe 

 für die Riemannsche Primzahlfunktion 



/ [x) = 



27 



7 <, X -\- £ 



V Kk Jk [X] , 



^'-ivj^i^'-'^'S^^)}: 



(5) 



dabei kann Jk (x) anstatt durch den vorhergehenden Differentialquotienten 

 auch durch diese Gleichungen definiert werden: 



Jk ix) = J,{x + a)~dJk (v' ix + eY. x)+3Jk Qjix + s) x') ~ Jk ix), 

 ik + 1) Jk W = i2k — a logx) Jk-i ix) — (^ — 1) Jk-2 (a) ; 



Jo ix) =logx, Jx ix) = log x~ Y ^of ^' 



(5a) 



Diese Reihe konvergiert absolut und ist von den Nullstellen der 

 Zetafunktion vollkommen unabhängig. Alles, was wir von dieser Funktion 

 wissen müssen, läßt sich in den folgenden Satz zusammenfassen. Erstens 

 setzen wir die triviale Erkenntnis voraus, daß die Funktion log l (s) sich in 

 eine Dirichletsche Reihe entwickeln läßt, welche in der Halbebene /? (s) > 1 

 konvergiert, und zweitens halten wir die Werte von $ (rt), Ç' (rt), S" («) 

 U.S.W, für bekannt, wobei a eine Konstante bedeutet, welche der Bedin- 

 gung i? ( — -J > 1 entspricht. 



Durch die angedeutete Methode können noch andere Entwickclungen 

 für die Funktionen / ix) und n ix) erreicht werden, von welchen ich da 

 ohne Beweis der Konvergenz die folgenden aufschreibe: 



