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den Fall, daß der entsprechende Involutionskegelschnitt J eine mit K kon- 

 zentrische Ellipse ist.^) 



Sei (Fig. 1) der gemeinschaftliche Mittelpunkt von K und J,M N 

 die Achsen von «7, dann gehören zu jedem Punktetripel in der kubischen 

 Involution des Kreises K in Bezug auf die Achsen M, N, sowie auf den 

 Mittelpunkt o symmetrische Tripel. Den Durchschnittspunkten gi h^ von K 

 und der Achse N entsprechende (gegenüberliegende) Tangenten g^ gs ^ Gj- 

 ^2 h^ ^ H^ von J sind zu M parallel und stellen zugleich die Scheitel- 

 tangenten desselben Kegelschnittes vor. Ebenso sind die den Punkten 

 ^1 /i — in denen die Achse M den Kreis K schneidet — entsprechenden 

 Tangenten j&j F^ parallel mit N und bilden die übrigen Scheiteltangenten 

 , ^ von J (Fig. 1.). 



^^'''"'{''^"~~-^^ i6r Es seien die beiden in Bezug auf M 



\^ I 4\ s^^mmetrischen Tripel g^ g^ gg, h^ h^ h^, als 



/ I ^ ' ' \ die kubische Involution bestimmend, vor- 



'^~ '^^'„^^ I --^-c:^^- -^^^ 2 ausgegeben, so ist damit auch der Invo- 



_ -g^^- - Ç <^- - ^- - \- - -®^- lutionskegelschnitt J (der bekanntlich die 



\ /^'^«/^^ I _----^l _ 7_' sechs Seiten der beiden Dreiecke gi g2 gs, 



\ !'£',! ' / Aj Äo /?3 berührt) bestimmt. Um die dem 



't^ \M ßg Punkte /j entsprechende Scheiteltangente 



^' ^"---^^jjx--'-''^ ' Fy^^f^ /s zu finden, benützen wir den 



jTjg, 1 bekannten Satz : 2) Die Seiten F^ G^ H^ 



eines Dreieckes schneiden den Kreis K in 



drei Punktepaaren f^f^, g^gz, h^h^, die mit den drei Punkten f^ gj h^, in denen 



die Scheitel des Dreieckes aus einem beliebigen Punkte e^ von K auf diesen 



Kegelschnitt projiziert werden, drei Tripel derselben kubischen Involution 



bilden. Demgemäß projizieren wir die Punkte g^, h-^ aus e-^ auf üT^ Gj in 



1, 2 ; die Verbindungslinie 12 ^ F^ ^ /g f.. 



Aus der Konstruktion geht sofort heraus, daß die vier Ecken eines 

 durch die Scheiteltangenten des Involutionskegelschnittes gebildeten Recht- 

 eckes auf den vier Seiten eines durch die Durchschnittspunkte der Achsen 

 dieses Kegelschnittes mit dem Träger K gebildeten Quadrats liegen. Sind 

 also a, b die beiden Halbachsen von J, r der Halbmesser von K, so findet immer 

 eine von den beiden folgenden Relationen statt: 



a :^b — r, 



je nachdem die Ecken 1,2... innerhalb oder außerhalb der betreffenden 

 Strecke gj ßj, e-^ h-^ . . . liegen. Merken wir uns noch den Umstand, daß 

 zu den beiden Achsendurchschnittspunkten z. B. /^ h-^ gegenüberliegende 



^) Keine von den mit K konzentrischen Hyperbeln kann als ein entsprechender 

 Involntionskegelschnitt angenommen werden, da beide Kegelschnitte soviel reelle 

 gemeinschaftliche Tangenten als Durcluchnittspunkte haben müesen. 



•)Dr. Emil Weyr: ,,Über die Grundaufgabe der Involutionen dritten 

 Grades". Sitzungsberichte der königl. böhm. Gesellschaft der Wissenschaften. 

 Jahrg. 1872. 



