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u gehört. Dieselben Involutionen bezeichnen wir als beigeordnete kubische 

 Involutionen. 



3. Läßt man die Gerade R so bewegen, daß ihre zwei Punkte i j die 

 Kreisdurchmesser M N durchlaufen, so erzeugt der Punkt v^ die Ellipse /„. 

 Weil aber jeder neuen Lage ^R dieser Geraden ein einziger Punkt ^y (Fig. 2) 

 auf Jv und ein einziges Momentanzentrum ^s auf K entspricht, sind diese 

 beiden Reihen v^'^-v . . ., u^s . . . projektiv. Jede im H an J„ geführte 

 Tangente W schneidet K in einem Punktepaare %2 ^3. und ergänzt man 

 denselben mit dem Punkte x^^ zu einem Tripel der Involution, deren In- 

 volutionskegelschnitt Jv ist, so wird auch die in dieser Art abgeleitete 

 Puktreihe x^ . . . mit der Reihe ^s projektiv. Fällt nun ^s mit u zusammen, 

 so deckt sich x^^ mit v^ 3 und umgekehrt, d. h. die beiden Punktreihen 

 h . . ., x^. . . liegen involutorisch. Da dasselbe von den beiden anderen 

 Doppelpunkten gültig ist, so ist der Mittelpunkt dieser Involution und 

 infolgedessen sind die Punkte ^s x^ die beiden Endpunkte desselben Kreis- 

 durchmessers. 



Ist der Punkt v-^ bei der Bewegung der Geraden R nach H gekommen, 

 so gelangt der Punkt w^ gleichzeitig in die Lage '^w. Die im '^w auf J^ 

 gezogene Tangente schneidet K in y^ und Vg und konstruiet man den mit 

 diesen ein Tripel der Involution — ■ die durch Jjn als Involutionskegel- 

 schnitt bestimmt ist — bildenden Punkt y-^, so ist dieser Kreispunkt wieder 

 dem ^s gegenüberliegend, also mit x^ identisch. 



Ist umgekehrt x^ ^ y-^ der gemeinschaftliche Punkt beider beige- 

 ordneter kubischen Involutionen auf K, so ist die Verbindungslinie ^R der 

 Berührungspunkte hi % beider diesem Punkte entsprechender Tan- 

 genten mit den Ellipsen Jv Jw eine von den Lagen der beweglichen Ge- 

 raden R, durch deren elliptische (oben definierte) Bewegung diese Punkte 

 beide Involutionskegelschnitte erzeugen ; das zugehörige Momentanzentrum 

 ist der dem Punkte x^^ ^ y-^ gegenüberliegende Punkt H auf K. 



4. Bevor wir aber zu den harmonischen Mittelpunkten eines vier- 

 punktigen Systems schreiten, müssen wir noch auf eine für unsere Zwecke 

 passende Konstruktion der harmonischen Mittelpunkte zweiten Grades 

 einer dreipunktigen Gruppe aufmerksam machen. 



Dr. Emil Weyr hat in der Abhandlung ,,Über Polargruppen" i) 

 die Aufgabe in folgender Art gelöst: 



,,Es seien die Grundpunkte abc sowie der Pol x auf einem Kegel- 

 schnitte K gegeben. Legt man in a ô c an K die Tangenten und verbindet 

 die Ecken des entstehenden Dreiseites mit den Berührungspunkten abc 

 der gegenüberliegenden Seiten, so werden die erhaltenen Strahlen, welche 

 sich in einem Punkte schneiden, den Kegelschnitt K in den Punkten 

 a' b' c' treffen, welche zu a, b, c bezüglich den Punkten b c, c 'i, a b kon- 

 jugiert harmonisch sind. Projiziert man die Punkte ß'6'c'aus dem Punkte x 

 von K auf die drei Geraden b c, resp. ca, ab, so erhält man drei mit in 



1) Sitzungsberichte der kais. Akademie der Wissenschaften in Wien, Jahrg. 1880. 



