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einer Geraden liegende Punkte a^ Ôq c^, welche Gerade den Kegelschnitt K 

 in den gesuchten Mittelpunkten x^ x, 2. Grades trifft." 



Projiziert man die vier harmonischen Punkte b c a a' aus x auf die 

 Gerade ö c in die Punkte b c m a^, so ist m^ {x a be) eine Ecke des diago- 

 nalen Dreieckes m 7t p [n^ {a b . x c), p ^ {c a . x b)] des vollständigen 

 Viereckes a b c x; a^ muß also auf der Seite np desselben Dreieckes liegen ; 

 ■ebenso fällt b^ auf die Seite m p und c^ auf m n zu. Man kann also sagen : 

 Das Dreieck abc der Grundpunkte liegt mit dem Diagonaldreiecke des Vier- 

 eckes ab c X perspektivisch, wobei die Perspektive Achse den K in den beiden 

 -harmonischen Mittelpunkten 2. Grades schneidet}) 



5. Indem wir zum eigentlichen Thema hinschreiten, wählen wir 

 auf einer Geraden P ("Fig. 3) 



•vier Punkte a /3 y ^ als Grund- ,''f\-^ "~"'^-. 



punkte des \ierpunktigen Sy- / / '"O-.^ 



stems und konstruieren für / / \ "-^.^ ,-■-' \"" ■"■-- 



jeden dieser Punkte als Pol die / / \ ^v^ \ ^'\ 



harmonischen Mittelpunkte 2. |/ p \/ "'^v \ \ 



Grades in Bezug auf die drei ^ö^^pT^ ^K^ />=c, /^S 



übrigen als Grundpunkte. \ "--.^ \/'\, / / ,--' / 



Zu dem Zwecke, voraus- \ ""v^ 



gesetzt, daß die Strecken a y, 

 ß d sich teilweise decken , zeich- ^"-^^ 



net man über diese Strecken 

 als Durchmesser Kreise K und Fig- 3. 



K' und projiziert diese Punkte 



aus einem der Schnittpunkte s derselben auf den Kreis K in die ein 

 Rechteck bildenden Punkte «^ ^ a, i^, c^^y, rfj. 



Im folgenden werden wir immer von solchen vier Punkten auf dem 

 Kreise K ausgehen und uns bei weiteren Konstruktionen mit solchen 

 Projektionen begnügen. 



Um also die harmonischen Mittelpunkte 2. Grades «2^3 ^'^^ ^^"^ 

 Kreise K (Fig. 4) für den Pol a^ in Bezug auf die Grundpunkte b^ c^ d^ zu 

 bekommen, zeichne man nach dem vorgehenden Abschnitte das diagonale 

 Dreieck des Rechteckes a^ ôj c^ dy Die eine Seite desselben ist die Gerade 

 im Unendlichen, die beiden anderen M, N sind die zu einander senkrechten 

 und mit den Seiten des Rechteckes parallelen Kreisdurchmesser. Dieses 

 -Dreieck hegt mit dem Dreiecke ôj c^ d^ perspektivisch, und die perspekti- 

 vische Achse p k [p^{Nb-^c-^, k^{M q^j)] schneidet K in den gesuchten 

 Punkten a^ a^. Ist analog r 1= {N a-^ d^) , q^ {M a^ b^) und sind b^ b^, c^ c^^ 

 dod^ die harmonischen Mittelpunkte 2. Grades für die Pole öj, q, d^ und 

 für die übrigen Tripel der vier Punkte a,^ by c^ d^ als Grundpunkte, so liegen 

 bo &3 auf kr, C.2 c-, auf qr und d^ d^ auf pq. Es liegt also immer ein Paar der 



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1) Diese Konstruktion wurde auch von Th. Monin in der Zeitschrift: 

 ,., Casopis pro pëst. mathematiky a fysiky", XVI. Jahrg., S. 242, abgeleitet. 

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