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Bestimmen wir nun ein diese Involution auf K erzeugenden Kegel- 

 schnittbüschel. 



Ist f^{MK) (Fig. 4-) ein Grundpunkt, A ^ f a-^ a^ a^, B ^ f b^ b^ b^ 

 zwei der degenerierten Kegelschnitte des Büschels, so sind k ^ (rtg «3 ^2^3)' 

 m ^(«2 «3 f bj) l^ (62 Ô3 / rt^) die anderen Grundpunkte desselben, und ein 

 beliebiger Kegelschnitt X dieses Kegelschnittbüschels (Fig. 4) schneidet K 

 außer in / noch in drei Punkten x^ x^ x^, die eine Gruppe der erwähnten 

 Involution bilden. Das Büschel erhält noch den dritten degenerierten 

 Kegelschnitt F ^ f k ml; die Gerade f k^M schneidet K noch in /j, 

 ml in /a, f^; somit ist diese Gerade eine Scheiteltangente von .7.^) 



6. Zieh! man an jeden Kegelschnitt des Büschels {AB . . . F . . . X . . .) 

 Tangente in /, so schneidet dieser Tangentenbüschel K in einer zu 

 dem Kegelschnittbüschel projektiven Punktreibe «„ ô^ . . . /o . . . a:^ . . . 

 (Fig. 4) ; in Bezug auf die degenerierten Kegelschnitte A B F ist wohl 



«0 = «1> ^0 = ^1' /o = /l' 



Legt man nun auf K eine neue, mit der kubischen Involution a^ a^ a-,, 

 &! &2 ^3' ^1 ^2 ^3 • • • ^1 % x^, . . . projektive Punktreihe abc... x . . . so, 

 daß a ^ «j, b^b^, c ^ c, ist, dann ist dieselbe auch mit dem Kegel- 

 schnittbüschel A B C . . . X . . . und mit der Punktreihe a^ 60 Cq . . . Xq . . . 

 projektiv ; die Punkte a ^^ a^ und b-:=:bQ sind Doppelpunkte der genannten 

 konjektiven einfachen Punktreihen, die eine involutorische Reihe bilden, 

 wie sogleich gezeigt werden wird. 



Denn legt man durch die Punkte f kl m c (^ c,) den Kegelschnitt C 

 (Fig. 4) des Büschels (/ k m l), so liegt der Pol n der Geraden ml in Bezug 

 auf C in der Seite fTv [^ = {fni kl), v ^ {f l k m]] des Diagonaldreieckes 

 (iv Ç des dem C eingeschriebenen Viereckes f k l m, und ist also mit dem 

 Schnittpunkte von /i v mit der in m an C gelegten Tangente identisch. Sucht 

 man aber dieselbe Tangente mit Anwendung des Pascalschen Lehrsatzes 

 als die unendlich kleine Seite des eingeschriebenen Sechsecks m kc f l m, 

 so ist n V zugleich die Pascalsche Gerade, durch deren Schnittpunkt n mit 

 c f diese Tangente gehen muß. Demzufolge sind c f Im in Bezug auf den 

 Kegelschnitt C zu einander konjugiert, und ihre Endpunkte cf, Im 

 werden aus jedem Punkte von C durch vier harmonische Strahlen projiziert. 

 Wählt man für das Projektionszentrum den Punkt / und sucht man die 

 Schnittpunkte cc^^ab der projizierenden Strahlen mit ^, so liegen die- 

 selben harmonisch auf K, und die Verbindungslinie c Cq homologischer 

 Punkte beider obgenannter Punktreihen muß durch den Schnittpunkt <s 



1) Bezeichnet man in Fig. 2 die Doppelpunkte nach Weyrs Art mit d^ d, d, r/, 

 und die Verzweigungspunkte beider beigeordneter kubischen Involutionen mit 

 i'i i't i's Vt resp. Wi Wt w, Wt, so ist man im Stande in Bezug auf die Fig. 4 den Satz 

 auszusprechen: ,,Die Tripel «', t^i tu, , . . . ^« r« «•« gehören derselben kubischen Invo- 

 lution an ; die Punkte z. B. i-, w^ sind harmonische Mittelpunkte 2. Grades für </, als 

 Pol und dt d, d^ als Grundpunkte; damit ist eine neue Bestimmungsart beider durch 

 4 Doppelpunkte bestimmter kubischen Involutionen gegeben. 



