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beider Doppelpunktstangenten in ß ^ a^ und 6 ^ Ôq an K gehen, und 

 damit ist die involutorische Lage beider Punktreihen bewiesen. 



Der durch d-^ d^ d^ gehende Kegelschnitt D des Büschels liegt zu C sym- 

 metrisch in Bezug auf die Achse M ; ihm entspricht die zu /Cq symmetrische 

 Tangente / d^ ; die Verbindungslinie g d^ schneidet K\m. d^ d^, welcher 

 Punkt also der vierte Doppclpunkt der Reihe abc... und der kubischen 

 Involutionsreihe ist. 



Um für einen beliebigen Punkt x der Reihe abc... das homo- 

 logische Punktetripel^^A^a der kubischen Involution zu bekommen, suche 

 man zuerst den Punkt Xq als Durchschnitt des Kreises X mit dem Strahle 

 G X, worauf der durch die Punkte f klm gehender und die Gerade / x^^ 

 tangierender Kegelschnitt X den Kreis K in den gesuchten Punkten x^ x^ x^ 

 trifft (Fig. 4). 



Die auf diese Art konstruierten Punkte x^x.^x^ nennt man die harmo- 

 nischen Mittelpunkte 3. Grades für den Pol x in Bezug auf a^ b^ c^ d^ als 

 Grundpunkte. 



Jedem Grundpunkte, z. B. a als Pole gehören demnach die Punkte 

 a^ ^ a, «2 .^3 als harmonische Mittelpunkte 3. Grades. Dem Pole f^{K M) 

 gehört das Tripel /^ /, /,„ wo /j der andere Schnittpunkt von K und M und 

 /.^/g die Scheiteltangente von J ist. Analoges gilt auch natürlich für den 

 Punkt ß ^ /i sowie für die Punkte gj h^, in denen N den Kreis K trifft. 



7. Die soeben angeführte Konstruktion ist nur dann vorteilhaft, 

 wenn es sich um die Mittelpunkte für einen einzigen Pol handelt, da man 

 bei dieser kubischen Aufgabe die Konstruktion eines allgemeinen Kegel- 

 schnittes nicht vermeiden kann. Geht es aber um diese Punkte für verschie- 

 dene Pole, bezogen auf dieselben vier Grundpunkte, die z. B. auf einer 

 Geraden P als «^ ß^ y^ d^ gegeben sind, so kann man diese Aufgabe folgender- 

 weise durchführen. 



Man konstruiert zuerst für zwei der vier Punkte, etwa «^ und ß^ 

 als Pole die harmonischen Mittelpunkte 2. Grades «o cc^ resp. ß.^ ß^ für 

 ßi Vi <^i resp. «1 j/j d"i als Gr undpunkte. i) 



Damit ist die Projektivität zwischen der kubischen Involution 

 «1 «2 «3, ßi ß.2 ßs, YxV^Yi- ' ' und der einfachen Punktreihe a^, ß^, y^, . . 

 bestimmt und man kann die irgend einem Punkte | der letzteren als Pole 

 entsprechende Punkt gruppe Ij |, I-5 der ersteren darstellen. 



Zu dem Zwecke 2) projiziert man beide Punktreihen aus einem be- 

 liebigen Punkte, z. B. aus dem unendlich entfernten Punkte s^ (Fig. 5) 

 in der zu P senkrechten Richtung, durch zwei konlokalen projektiven 

 Strahlenbüschel, von denen das eine kubisch-involutorisch und das andere 



1) Am besten projiziert man die Grundpunkte wie in Fig. 3 in ein Rechteck 

 aus s auf einen Kreis, führt dann die Konstruktion wie in Fig. 4 aus und projiziert die 

 harmonischen Mittelpunkte 2. Grades von s auf P in «2 «g, A ßa zurück. 



^) Anders wurde dieselbe Aufgabe von W e y r in der Abhandlung: Weitere 

 Bemerkungen etc. (siehe Seite 1, erste Bemerkung) auf der Seite 3 und 4 behandelt. 



