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Um zu dem beliebigen Punkte | der einfachen Polreihe auf P das 

 homologische Punktetripel der kubischen Involution darzustellen, kon- 

 struiert man zuerst den zu | zugehörigen Punkt x auf L, wo jv ^e [L | s« ) 

 ist. Der Strahl X^ffoo x trifft K in ^^ %^ ^Vg, deren Projektionen li 1? I3 

 aus Soo auf P die gesuchten harmonischen Mittelpunkte 3. Grades sind. 

 8. Kehren wir nun zu dem Falle zurück, wo die Grundpunkte auf 

 einen Kreis K in das Rechteck a^b-^c^d^ projiziert wurden (Fig. 4), und 

 wo man zeigte, wie man für einen Pol x die harmonischen Mittelpunkte 

 3. Grades % x^ x^ konstruiert. 



Bestimme man weiter für x als Pol die harmonischen Mittelpunkte 

 2. Grades x" W in Bezug auf die Grundpunkte %j %2 ^3> die man die har- 

 monischen Mittelpunkte 2. Grades 

 x" ^x" für den Pol x und die Grund- 

 pimkte ßj &j Cj d^ nennt. Die Verbin- 

 dungslinie X" = x" V (Fig. 6) — 

 die nach Abschn. 4 dargestellt wurde 

 — geht zugleich durch den Punkt 

 {x), welcher ein Schnittpunkt der 

 drei jede Ecke des Dreiecks x-^x^^x^ 

 mit dem Pole x-^ x^ x.^ der gegen- 

 überliegenden Seite in Bezug auf K 

 verbindenden Strahlen ist. 



Auf diese Art gehört jedem 

 Pole X und somit auch dem zuge- 

 hörigen Dreiecke x^x^^x^ ein einziger 

 Punkt [x) und die einzige durch 

 denselben gehende Gerade X" . 

 Konstruiert man so für den Pol / (Fig. 7) die harmonischen Mittel- 

 punkte 2. Grades /" V"» so wird, der Konstruktionssymmetrie wegen, die 

 Gerade F" ^/" V" zu M senkrecht stehen und sie in (/) treffen. Dasselbe 

 gilt auch für die zu den übrigen Durchschnittspunkten e g h von K mit 

 M und N zugehörige Strahlen E" G" H" . 



Jedoch ist es ersichtlich, daß einem Punkte [x] in der kubischen 

 Involution nur ein einziges Dreieck x-^ x, x^ von der Beschaffenheit gehört 

 (Fig. 6), daß dieser Punkt ein Schnittpunkt der drei Geraden ist, welche 

 die Pole jeder seiner Seiten mit dem dritten Ecke verbinden. Denn trans- 

 formiert man Fig. 6 in der Art, daß dem K wieder ein Kreis, dem Punkte 

 {x) dessen Mittelpunkt entspricht, so wird die soeben ausgesprochene 

 Eigenschaft nur den dem Kreise eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecken 

 zukommen. Die Scheitel dieser Dreiecke bilden eine neue kubische In- 

 volution (die in den imaginären Kreispunkten dreifache Elemente hat), 

 welche mit der, in die sich die unsere Involution in Fig. 6 transformiert 

 hat, bekanntlich nur ein gemeinschaftliches Tripel haben kann. Hätten 

 sie mehrere, so wären sie identisch, und der Punkt ix) wäre für alle Drei- 



Fig. 6. 



