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Die Verbindungslinien A" B" . . . X" . . . der harmonischen Mittel- 

 punkte 2. Grades werden eine Kurve umhüllen, von der bewiesen wird, 

 daß sie mit L identisch ist. Stellen wir die Klasse dieser Umhüllungs- 

 linie fest. Hat man für das Tripel x-^x^x^ den Punkt {x) konstruiert und 

 zieht man von diesem die beiden Tangenten an K, so fallen für den Be- 

 rührungspunkt Mx einer von ihnen als Pol die harmonischen Mittelpunkte 

 2, Grades in Bezug auf die Grundpunkte Xj^X2Xs in dem Berührungs- 

 punkte fix der anderen Tangente zusammen und umgekehrt.^) Wäre 

 nun X mit nix (oder nx) identisch, so wäre diese (oder die erste) Tangente 

 von K zugleich die Tangente X" der gesuchten Umhüllungslinie. Der 

 Anzahl solcher gemeinschaftlichen Tangenten gleicht, wie ersichtlich, der 

 Menge der Doppelpunkte beider verwandter Punktreihen x, . . . und 

 nixnx . . . . Jedem Punkte x der ersten Reihe entsprechen zwei Punkte 

 nix fix der anderen. Zieht man umgekehrt in nix an K Tangente, so schneidet 

 dieselbe L in zwei Punkten {x) {y) denen in der Polreihe zwei Pole x y 

 entsprechen; die soeben besprochene Veiwandtschaft ist damit zwei-zwei- 

 deutige, hat also vier Doppelpunkte. Dann hat auch unsere UmhüUurgs- 

 linie mit K vier gemeinschaftliche Tangenten und kann also nur ein Kegel- 

 schnitt sein, dessen Achsen sich (der Symmetrie wegen) mit Af und iV" 

 decken. Die Geraden E" F" G" H" sind Scheiteltangenten dieses Kegel- 

 schnittes, der also mit L identisch sein muß. 



Da jede Tangente X" von L durch den Punkt {x) desselben Kegel- 

 schnittes geht, so berührt die Gerade X" den L in {x). Die Schar der Tan- 

 genten X" ist somit mit der Punktreihe [x) und dadurch auch mit der 

 Polreihe x projektiv. Da man schon für die Pole efgh die homologischen 

 Strahlen E" F" G" H" kennt, so ist damit die Projektivität mehr als 

 genügend bestimmt, und man kann für jeden Pol x die harmonischen 

 Mittelpunkte 2. Grades x" ^a;" auf dem homologischen Strahle X" bestimmen, 

 ohne früher die harmonischen Mittelpunkte 3. Grades, darzustellen. 2) 



Um die Konstruktion zu vereinfachen, ziehe man für jedes der 

 Dreiecke %iX_,%3 die Gerade ^X, welche die drei Punkte, in denen jede Seite 

 derselben die im gegenüberliegenden Scheitel an K geführte Tangente 

 schneidet, verbindet (Fig. 6). Diese Gerade ^X ist, wie ersichtlich. Polare 

 von {x) in Bezug auf K; damit werden alle solche Geraden ^X einen zu L 

 für K als Basiskurve polarreciproken Kegelschnitt ^J umhüllen. Da L 

 durch die Doppelpunkte der kubischen Involution x^ %^ x^ geht, so be- 

 rühren die in denselben an K geführten Tangenten zugleich J und V. 



1) E, Wey r : ,,Ühcr Polargruppen" , Sitzungsber. der k. Ak. d. Wiss. in 

 Wien 1880, Seite 3. 



*J Zu der konstruktiven Behandlung ziehe man über [g) [h) und [e] (/) (Fig. 7) 

 als Durchmesser Kreise und beziehe dieselben zu L affin mit der negativen Charakte- 

 ristik ; durch diese Affinitäten wird jeder Punkt [x) in die zwei mit x auf demselben 

 Kreisdurchmesser x liegenden Punkte überführt, womit umgekehrt eine sehr 

 einfache Konstruktion von [x) und X" gegeben ist. 



