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Einen Punkt der Scheiteltangente ^G von ^J (Fig. 7) bekommt man, 

 wenn man die Seite gj gg "lit der Tangente im g^ an K schneidet. Trifft 

 nun g2 Sa ^^^ A^- Achse in dem Scheitel 1 von J, und ist ^g der Scheitel 

 von ^J auf ^G, so zeigt eine einfache Rechnung, daß o^g — r{2r — a) : (2a — r) 

 ist, wo r Halbmesser von K, a = o l die Halbachse von J bedeutet. Ist 

 nun h = r — a die andere Halbachse von J, und konstruiert man ebenso 

 mit Anwendung des Dreiecks e-^ e., ^3 ^i^ Scheiteltangente i£ mit dem 

 Scheitel ^e von ^J, so gilt e^'^e = r [r -\- h) \ {r — 2 &) = r (2 y — a) : (2 « — r). 



Es ist dadurch (Fig. 7) o'^g = e^ \, oder o^e — o^g = r, d. h. die 

 Differenz der Halbachsen von V gleicht dem Halbmesser von K ; V ist 

 somit (Abschn. 1) ein Involutionskegelschnitt einer neuen kubischen 

 Involution auf K. Da nun K J^J dieselben vier Tangenten besitzen, sind 

 die beiden kubischen Involutionen beigeordnet. (Abschn. 2.) 



Die durch Vauf K erzeugte Involution ist, wie ersichtlich auch zu den 

 Achsen M und N symmetrisch, d. h. den Punkten e f gh (Fig. 7) gegen- 

 überhegenden Tangenten '^E^F^G^H von J sind ihre Scheiteltangenten. 

 Da die Verbindungslinie fh durch den Schnittpunkt von Scheiteltangenten 

 ^G'^E geht, so sind dieselben (Abschn. 1) den Punkten g, e entsprechend. 



Die Tangenten ^X . . . von ^J haben wir mit Anwendung der Dreiecke 

 Xj^ X., x^ (als Pascalsche Geraden) konstruiert. Da sie zugleich Polaren von 

 {x) auf K sind, so bilden sie eine zu der Polreihe x auf K projektive Schar. 

 Man kann sie jedoch auch als den Punkten von K entsprechende Tan- 

 genten von V konstruieren, indem man durch diese Punkte beide Tan- 

 genten an V zieht und ihre Schnittpunkte mit K verbindet. Da man nun 

 für die vier Punkte e f gh durch das erste sowie durch das andere Ver- 

 fahren dieselben vier Tangenten '^E ^F ^G ^H erlangt, so muß auch 

 jedem weiteren Punkte x der Polreihe dieselbe Tangente von ^J durch 

 beide Konstruktionen gehören. 



Ist \x der Berührungspunkt von ^X mit V, so bilden diese Punkte 

 auf iJ eine zu der Polreihe x auf K projektive Punktreihe. Da ^x evident 

 ein Pol der Geraden X" — auf der die harmonischen Mittelpunkte 2. Grades 

 x" H" liegen — in Bezug auf K ist, so kommt man somit zur folgenden 

 neuen Konstruktion dieser Punkte: 



Man ermittelt den Berührungspunkt ^x der dem Pole x entsprechenden 

 (gegenüberliegenden) Tangenten '^X in der kuhischen Involution, welche 

 V zum Involutionskegelschnitt hat ; die Polare X" von '^x an K cntliält die 

 gesuchten harmonischen Mittelpunkte 2. Grades. 



Der dem Punkte x gegenüberliegende Kreispunkt Sx ist (Abschn. 

 3, Schluß) das Momentanzentrum für jene Lage R^ der beweglichen Ge- 

 raden R, die durch den Punkt '^x geht, welcher den zweiten Involutions- 

 kegelschnitt V erzeugt. Fällt man also von Sx (Fig. 7) die Senkrechten 

 Sx i, Sx j zu M und N, erhält man Rx ^ i j ; da bei der elliptischen Bewegung 

 der Geraden Rx der Punkt ^v die Ellipse ^J erzeugt, muß o^g = i ^x, womit 



