26 



eine neue Bestimmungsart von ^x und damit auch der harmonischen Mittel- 

 punkte 2. Grades gegeben ist. 



Für einen der vier Grundpunkte z. B. a^ wird Cj (Fig. 7), Momentan- 

 zentrum, und demzufolge ist Ra^^. kp^a^a.^. Die zugehörige Tangente 

 M -von V geht durch den Schnittpunkt von a^ a^ mit der Kreistangente in «i, 

 welcher also zugleich der Berührungspunkt ^a von '^A mit V wird. Somit ist 

 k^a = o^g = i'^x und p'^a = j ^x = o ^e, so daß die Halbachsen von ^J 



sehr leicht bestimmbar sind. Man sieht auch 



^,--|--, sofort, daß sich für jeden der Grundpunkte 



i/ ' \ z. B. a^^i als Pol einer der beiden harmo- 



// i \ nischen Mittelpunkte a" mit diesem Pole 



' f'f^Àc''% i -"^V vereinigt und der andere W mit ienem 



',/ / i '. '^ / harmonisch zu «2 ^s liegt. 



j^l \ /■' i y \\ 10. Zu einer anderen Konstruktion der 



I i / i ! i ; , \ harmonischen Mittelpunkte 2. Grades des vier- 



" ] ' '*f \ jv ~ ■'"'i - II" T ~ punktigen Systems gelangt man wie folgt : 



^ / 1 M\ \ \ I Jedem Pole x gehören immer zwei 



rUV'i •1 / /' solche Mittelpunkte x" H" . Ist umgekehrt 



/ V\ i, , lr'%" \ y" (Fig- 8) der harmonische Mittelpunkt 2. 



'/ \\ ~""""r" /; ^ Grades und sucht man den zugehörigen Pol 



\ [/ /. y, so ziehe man in y"an K Tangente, die V 



'^'V^-'' / in zwei Punkten V. ^^a trifft, denen in der 



" Polreihe auf K zwei Punkte a^, ^o projekti- 



Fig- 8. visch entsprechen. Die Verwandtschaft der 



Pole mit den harmonischen Mittelpukten 2. 



Grades ist somit zwei-zweideutige. 



Die Verbindungslinien entsprechender Punktepaare beider Punkt- 

 reihen werden eine Kurve 4. Klasse umhüllen, da durch jeden Kreispunkt 

 4 solche Strahlen durchgehen; in unserem Falle zerfällt jedoch diese 

 Kurve in zwei zusammenfallende Kegelschnitte H. Denn nimmt man den 

 Doppelpunkt r der kubischen Involution (Fig. 8), deren Involutionskegel- 

 schnitt V ist, für den Pol, so berührt die entsprechende Tangente r V den 

 Kegelschnitt V in dem zugehörigen Verzweigungspunkte V, dessen Polare 

 zu K auf diesem die miteinander und mit V vereinigten Mittelpunkte 

 /' ^ V ^ V ausschneidet ; die unendlich nahe benachbarten Tangenten 

 rr", rh" unserer Kurve berühren somit dieselbe in r. Betrachtet man jedoch 

 denselben Doppelpunkt r als einen harmonischen Mittelpunkt 2. Grades 

 t" und sucht man die zugehörigen Pole, so ziehe man (nach dem obigen) 

 in t" Tangente an K, die zugleich Tangente von V ist und zwar dem Punkte 

 h entsprechend. Den zusammenfallenden Schnittpunkten H ^ Hq derselben 

 mit ^J gehören somit die zusammenfallenden Pole t ^ t(^, die sich mif h ver- 

 einigen. Die in i" sich schneidenden Tangenten t" t, t" tf, der Kurve 4. Klasse 

 sind dadurch wieder unendlich nahe benachbart. 



1 



