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Aus dem gesagten ist evident, daß r^r Doppeltangente der erwähnten 

 Kurve ist, deren beide Berührungspunkte sich in r vereinigen. Da nun die 

 Kurve 4. Klasse ist und vier solche Doppeltangenten besitzt, muß sie 

 notwendig in einen Doppelkegelschnitt Ä" zerfallen. Faßt man die Bedeu- 

 tung dieser Kurve ins Auge, so sieht man, daß die von einem Punkte x von 

 K als Pole an dieselbe geführten Tangenten in K die beiden harmonischen 

 Mittelpunkte x" ^x" 2. Grades ausschneiden. 



Durch dieselbe Konstruktion bekommt man jedoch umgekehrt die 

 beiden Pole für den gegebenen Mittelpunkt 2. Grades. Somit schneidet 

 jede Tangente von H den Kreis K in zwei Punkten so, daß je einem als Pole 

 der andere als einer von den harmonischen Mittelpunkten 2. Grades zukommt 

 und umgekehrt: die erwähnte zwei-zweideutige Verwandtschaft ist somit 

 eine symmetrische; ihre Doppelpunkte erster Art sind die vier- Grundpunkte 

 «1 &! Ci d^, da z. B. a ^ a, ^ a" ist.^) Somit sind die Kreistangenten in den 

 Grundpunkten zugleich Tangenten von H.-) Der Kegelschnitt H ist in 

 Fig. 7 eine Hyperbel, deren Achsen M N sind. Außer den soeben bespro- 

 chenen kann man leicht eine Anzahl anderer Tangenten, z. B. a'^a" , e e" 

 usw. ziehen. Schlägt man jedoch über q o als Durchmesser den Kreis Ka 

 (Rollkreis der elliptischen Bewegung) und führt man von ^a Tangenten ^a /n 

 ^a V an denselben, so gehören deren Berührungspunkte fi, v schon den 

 Asymptoten o ^ ov von H an ; bei der elliptischen Bewegung beschreibt 

 nämlich n den Kreisdurchmesser ft o ^ m Sm- Gelangt ft nach Sm, wird 

 er Momentanzentrum für den Pol m, und die Gerade ft % geht in die Tan- 

 gente Sm ^m von K über. Somit wird s», mit m" identisch und m m" als 

 Tangente von H, durch deren Mittelpunkt o gehend, ihre As^^mptote. 



11. Der zu x in Bezug auf x" ^x" konjugiert harmonische Punkt x' 

 heißt der harmonische Mittelpunkt 1. Grades für x als Pol und die Grund- 

 punkte «1 b^ Cj d^. 



Der Punkt x' ist auch harmonischer Mittelpunkt des ersten Grades 

 für den Pol x in Bezug auf die Grundtripel ^^ x^ Xr^. 



Da ^x (Fig. 7) der Pol von X" ^ x" H" auf K ist, so bestimmt man x' , 

 indem man die Verbindungsgerade des Poles x mit dem Berührungspunkte '^x 

 der entsprechenden Tangente des Involutionskegelschnittes ^J mit der Kreis- 

 linie K zum Schnitt bringt. 



Für jeden der Grundpunkte z. B. a.^ ^ a vereinigt sich a' mit dem- 

 selben, da a'^a eine Tangente des Kreises K ist. 



Den Polen e f gh auf der Achsen M N gehört jedem immer der ent- 

 gegengesetzte Punkt e' f g'h' derselben Achse als harmonischer Mittelpunkt 

 1. Grades, welcher jedoch zugleich einer der harmonischen Mittelpunkte 

 3. Grades für denselben Pol ist. 



1) Die Doppelpunkte zweiter Art sind, wie soeben gezeigt wurde, mit den Ver- 

 zweigungspunkten der durch ^ erzeugten Involution identisch. 



*) Man kann leicht zeigen, diiß ^a der Berührungspunkt der Tangenten a ^a ist. 



