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12. Zum Schluß werden wir nocli kurz die Verwandtschaften harmo- 

 nischer Mittelpunkte des vierpunktigen Grundsystems mit ihren Polen be- 

 sprechen, von denen die zwei-zweideutige symmetrische Verwandtschaft 

 der Pole und der harmonischen Mittelpunkte 2. Grades schon erwähnt 

 wurde (Abschn. 10). 



Jedem Pole x von K entspricht ein einziger Mittelpunkt 1. Grades x', 

 den man bekommt, wenn man zu x den entsprechenden Punkt '^x in der 

 Punktreihe auf V aufsucht, und den Strahl x ^x mit K zum Schnitt bringt. 

 (Fig. 7). Ist nun umgekehrt x' gegeben und sucht man den Pol x, so geht es 

 um das Aufsuchen solcher durch a;' gehender Strahlen, die die beiden homo- 

 logischen Punkte der genannten Punktreihen treffen. Projiziert man die 

 Polreihe x . . . aus x' durch den Strahlenbüschel, so treffen dessen Strahlen 

 V in Punktepaaren einer Involution, die zu der konlokalen Punktreihe 

 % . . . projektiv ist und mit ihr bekanntlich drei Doppelpunkte hat (von 

 denen einer der Punkt % ist). Projiziert man dieselben aus x' auf K, so 

 erhält man drei Pole, denen x' als harmonischer Mittelpunkt. 1. Grades 

 zugehört. Die Verwandtschaft der Polreihe und der Reihe der harmonischen 

 Mittelpunkte 1. Grades ist somit drei- eindeutige. 



Die Verwandtschaft der Polen mit den harmonischen Mittelpunkten 

 3. Grades ist (Abschn. 6) ein-dreideutig. Bezeichnet man für einen Augenblick 

 dieselbe als die erste und die vorige als die zweite, so kann man beweisen, 

 da SS sie identisch sind. 



Denn eine ein-dreideutige Verwandtschaft ist bestimmt, sobald man 

 7 Paare entsprechender Elemente kennt .i) Haben nun zwei solche Ver- 

 wandtschaften 7 gemeinschaftliche Elementenpaare, so sind sie identisch. 

 In unserem Falle kennt man jedoch schon 8 solche Punktepaare. Denn in 

 Bezug auf die erste Verwandtschaft gehören den 8 Polen a b c d e f g h als 

 Punkten der einfachen Reihe als harmonische Mittelpunkte 3. Grades 

 resp. die Punkte abcdfehg zu. Bei der zweiten Verwandtschaft sind 

 denselben 8 harmonischen Mittelpunkten 1. Grades, als zu der einfachen 

 Punktreihe zugehörigen, die anderen 8 Punkte als Pole zugeordnet, womit 

 die Behauptung bewiesen ist. 



Gehören also dem Punkte x als Pole in Bezug auf die Grundpunkte 

 a^ !\ Cj^ d^ die Punkte x-^ x^ x^ als harmonische Mittelpunkte des S. Grades, 

 dann ist für jeden dieser Punkte als Pol der Punkt x der harmonische 

 Mittelpunkt des 7. Grades.-) 



Die Verbindungsgeraden entsprechender Punktepaare werden somit 

 in beiden Verwandtschaften dieselbe Kurve umhüllen, die man auch als 



1) Dr. Emil Weyr: ,,Die Erzeugung alg. Curven durch mehrdeutige 

 Elementargebilde", Abhandl. der k. böhm. Ges. d. Wiss. 1870, Seite 7. 



*) Den Satz kann man zur einer neuen Konstruktion des harm. Mittelpunktes 

 1. Grades x' für den Pol x benutzen: In Bezug zum Abschn. 6 (Fig. 4) zieht man in / 

 an den durch die Punkte f k l m x gehenden Kegelschnitt Tangente, deren Schnitt- 

 punkt mit K wird aus <r auf dieselbe Kreislinie in den gesuchten Punkt x' projiziert. 



