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Produkt beider projektiver Punktreihen x . . . auf K und '^x . . . auf ^J 

 erzeugen kann. Somit ist dieselbe bekanntlich eine rationale Kurve 4. Klasse 

 6. Ordnung, die beide Achsen M N sowie die unendlich ferne Gerade für 

 Doppeltangenten hat. Sie berührt den Kreis K in den vier Grundpunkten 

 «1 &i q dy Liegen dieselben harmonisch, so geht sie in die Asteroide über« 



Konstruiert man für das Poletripel x^ x.^ x^ die harmonischen Mittel- 

 punkte 3. Grades, so bekommt man 9 harmonische Mittelpunkte 3. Grades, 

 denen derselbe Mittelpunkt 1. Grades x zugeordnet ist und umgekehrt. 

 Die Verwandtschaft der harmonischen Mittelpunkte des ersten und drittelt 

 Grades ist somit ein-neundeutig}) Von den 10 Doppelpunkten fallen 4 in die 

 Grundpunkte zu, die vier weiteren sind die Punkte e f gh und die letzten 

 zwei liegen in den imaginäi"en Kreispunkten.-) 



Die Verwandtschaft der harmonischen Mittelpunkte des ersten und zweiten 

 Grades ist zwei-sechsdeutig; ebenso die der harmonischen Mittelpunkte des 

 zweiten und dritten Grades. Erstere hat die Verzweigungspunkte, letztere 

 die Doppelpunkte der von V erzeugten kubischen Involution für Doppel- 

 punkte. Dieselben sind jedoch von besonderer Natur: In den ersten 

 vereinigen sich zwei harmonische Mittelpunkte des zweiten Grades mit 

 dem entsprechenden des ersten Grades ; in den letzteren liegen zwei des 

 dritten und ein des zweiten Grades. Die übrigen Doppelpunkte beider 

 Verwandtschaften liegen in den Grundpunkten. 



13. Aus dem über die konstruktive Behandlung der harmonischen 

 Mittelpunkte des drei- und vierpunktigen Systems gesagten ist auch der 

 induktive Weg klar, wie die harmonischen Mittelpunkte für die höheren 

 Grundsysteme darzustellen: Sind a^h^c^. . . n^ die n Grundpunkte, so zeichne 

 für zwei derselben, z. B. «i 6^ als Pole die harmonischen INIittelpunkte 

 {n — 2) Grades a.^a^. . . an—i und Kb^. . . &«— i für die übrigen (n — 1) 

 Grundpunkte 6j q . . . % resp. «^ c, . . . n^ Die {n — 1) Punkte rt^ ßg • • • ^» — i» 

 sowie ôj &2 • • • bn — i bestimmen eine Involution {n — 1) Grades. Weiset 

 man dieselbe projcktixasch einer einfachen Punktreihe a ô c . . . , wo rr = «i, 

 b^hy c ^ c^, als Polreihe zu, so daß rt^ «2 • • • ^'» — i- byb.y . . . b„-.i, 

 c^c^. . . Cn — u ... ff a, b, c, . . ., dann bildet die dem Pole x zugehörige 

 Gruppe Xj^x.2 ... Xn — i der Involution die harmonischen Mittelpunkte 

 {n — 1) Grades des Grundsystems a^b^ . . . n^, deren man sich auch zu 

 der Darstellung der übrigen harmonischen Mittelpunkte für denselben Pol 

 X bedienen kann. 



1) Für n- punktiges Grundsj-stem ist die Verwandtschaft der harmonischen 

 Mittelpunkte r-ten und s-ten Grades die r [n — s) — s{n — r) deutige. 



*) Liegen die 4 Grundpunkte auf einer Geraden, so konstniicrt man diese 

 Doppelpunkte als Doppelpunkte 3 quadratischer Involutionen, die man bestimmt, 

 indem man die Grundpunktc zu zwei in zwei Paare solche Inpoluticn bestimmender 

 Funkte zusammenstellt. Je zwei Paare von diesen Doppelpunkten liegen harmonisch. 



