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Bereiche K^ und K2 geteilt. Wir bezeichnen mit k, jeden endhchen und 

 geschlossenen Bereich, der ganz im Bereiche Kr liegt und dessen Grenzen 

 nirgends berührt. 



Die Kurve C definieren wir durch die Gleichung 



^ = g{r). •• (1) 



in welcher g (r) eine eindeutige Funktion bedeutet. Diese Funktion sei 

 im Kreisringe 



1 > '' < 1 T I £ 7^ > 1 



und in der Umgebung jedes Punktes an seinen Grenzen analytisch und 

 soll folgende Eigenschaften besitzen. 



1. Wenn r die Punkte des Einheitskreises durchläuft, das ist, 

 wenn 



T = t»-?, 0£<p< 2 «, 



so soll der durch die Gleichung (1) definierte Punkt z in eigener Ebene 

 entweder einen oder nacheinander mehrere reguläre Jordansche Bogen 

 durchlaufen, die in ihrer Gesamtheit die Kurve C bilden. Es soll dabei 

 möglich sein, daß sich einige Teile oder auch ganze Bogen decken, so daß 

 zweien oder auch mehreren Punkter des Einheitskreises ein einziger Punkt 

 der Kurve C entspricht. Die Punkte, in welchen einzelne Bogen aneinander 

 grenzen, teilen die Kurve C in einige Teile, die wir Stücke benennen wollen. 



2. Wenn r den Einheitskreis im positiven Sinne einmal umkreist, 

 so soll der Punkt z das k-te Stück der Kurve C w^-mal im positiven und 

 (w* — l)-mal im negativen Sinne durchlaufen. Den Sinn denken wir uns 

 dabei im Bezüge auf den Bereich K^ definiert. Die Integration längs aller 

 Jordanschen Bogen ist dann äquivalent mit der einfachen Integration 

 längs der Kurve C im positiven Sinne. 



Es ist ersichtlich, daß die Anzahl der Jordanschen Bogen sich nur 

 dann von der Einheit unterscheiden wird, wenn mindestens in einem 

 Punkte rj des Einheitskreises die Gleichung 



g' (^1) = 



erfüllt ist.^) In einem solchen Punkte grenzen dann zwei Jordansche Bogen 

 aneinander. Existiert kein solcher Punkt r^, so definiert die Gleichung 

 (]) einen einzigen glatten regulären Bogen. 



Die Kurven, welche eine solche abbildende Funktion (1) zulassen, 

 bilden eine sehr ausgedehnte Gruppe. So gehört zu ihnen z. B. j ede reguläre 

 Kurve überhaupt ; eine solche besitzt sogar eine unbegrenzte Anzahl von 

 solchen abbildenden Funktionen (siehe z. B. IL § 1). 



Auf den Satz von Cauchy gestützt beweisen wir jetzt folgenden 

 allgemeinen Entwicklungssatz. 



1) Daraus folgt, daß die durch die Gleichung (1) gegebene Abbildung nicht 

 überall konform zu sein braucht. 



