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Satz I. Wir bezeichnen mit y den Einheitskreis in der t Ebene und mit h (t) 

 eine beUebige Funktion, die analytisch und von Null verschieden ist in der "Um- 

 gebung jedes Punktes auf der Peripherie von y. 



Das Integral 



2«/ 5 



h (t) o' (t) t-(^ + 1) 



d X = Ik [z) 



definiert die Funktion bk [z), welche im Bereiche K^ analytisch ist. 



Dasselbe Integral definiert im Bereiche K^ eine andere analytische Funk- 

 tion ck [z). 



1. Jede Funktion Fi [z), die im Bereiche Ky^) und in der Umgebung jedes 

 Punktes auf der Kurve C analytisch ist, gibt Anlaß zu zwei Entwicklungen 



oc 

 «) F,[z) ^Y^Akbk[z), 



k= -00 



ß) 



= 



^Akck [z), 



k= -00 



Ah 



2 «Î J 



F, [g (t)] xk d T 

 Il (rj 



(2) 



Die Reihe «) ist absolut und gleichmäßig konvergent in jedem Bereiche k^, 

 die Reihe ß) in jedem Bereiche k^. 



2. Jede Funktion F^ [z), die im Bereiche K^ und in der Umgebung jedes 

 Punktes auf der Kurve C analytisch ist, gibt Anlaß zu zwei Entwicklungen 



y) 



F,{z)=-- S^Fi^ck {z), 



k= -00 



Ek 



2 ni J 



h (X) 



(2a) 



Die Reihe y) ist absolut und gleichmäßig konvergent in jedem Bereiche k^ und 

 die Reihe S) in jedem Bereiche Äj. 



Die Funktionen bk [z) und ck {z) hängen von der Form der Funktionen P"i [z) 

 und F, [z) nicht ab. 



Beweis. Es sei zuerst die Kurve C geschlossen und im Endlichen: 

 das durch sie begrenzte endliche Gebiet bezeichnen wir als K^ 

 Nach dem Cauchyschen Satze ist dann 



F,{t)dt _ 1 f F, [^(r)] h{T)g'{T)dT 



^^(^)-T^I 



^«U 



.(3) 



^) Wenn der Bereich den unendüchen Punkt enthält, so muß F {z) außerdem 

 noch die Bedingung 



lim z . F {z) — einer endl. Konstante 



•befriedigen. 



