33 



Die Funktion g (r) ist analytisch und also stetig in der Umgebung 

 jedes Punktes auf dem Einheitskreise. Daraus folgt, daß die Gleichung 

 (1) die nahe Umgebung des Einheitskreises in der t Ebene auf die nahe 

 Umgebung der Kurve C in der z Ebene abbildet. Wir denken uns z. B. 

 in der v Ebene einen engen Kreisring â gezeichnet, der den Mittelpunkt 

 im Anfange hat und so gelegen ist, daß die Peripherie des Einheitskreises 

 y in diesem Bereiche d liegt. Durch die Gleichung (1) wird dieser Kreisring 

 auf einen Bereich d der z Ebene abgebildet, welcher so geformt ist, daß 

 die Peripherie der Kurve C in ihm liegt. Wie die Grenzen dieses Bereiches 

 d geformt sind, davon brauchen wir gar nichts zu wissen. Nur eines ist 

 sicher. Wenn sich nämlich die Grenzen des Kreisringes â beiderseits der 

 Peripherie des Einheitskreises y nähern, so werden sich auch die Grenzen 

 des Bereiches d der Peripherie der Kurve C so nähern, daß im Grenzfalle 

 sich der Bereich â auf die bloße Peripherie von y und der Bereich d auf die 

 bloße Peripherie von C reduziert. Das ist eine selbstverständliche Folge 

 der Stetigkeit der Funktion g (r). 



Wir denken uns jetzt im Bereiche K^ einen beliebigen Bereich ky 

 Nach dem Vorausgehenden können wir immer den Kreisring â so eng 

 wählen, daß sein Bild in der z Ebene — • das ist der Bereich d — nirgends 

 die Grenze des Bereiches k^ berührt, so daß für alle Punkte des ELreisringes 

 d und für alle z des Bereiches k^ die Ungleichung 



lg(r)-^I>0 

 erfüllt ist. 



Bezeichnen wir weiter mit h (r) eine beliebige im â analytische 

 Funktion, so definiert auch der Bruch 



h (r) . g' (r) 



g{^)—Z 



■eine im Bereiche â analytische Funktion der Veränderlichen r, so daß wir 

 die folgende Laurentsche Reihe aufschreiben können 



g 



= V^*(^) 



h (z) = 



*= -GO 



(^^ = ^j 



(4) 



deren Konvergenzbereich durch â gegeben ist. Wenn also z einen fest- 

 gewählten Punkt im Bereiche ^^ bezeichnet, so ist, wie bekannt, die Reihe 

 (4) für alle Punkte r auf der Peripherie von y gleichmäßig konvergent. 

 Wir können also die Entwicklung (4) in das Integral (3) einsetzen und 

 gliedweise integrieren. Wenn weiter die beliebige Funktion h {%) durch 

 die Annahme beschränkt wird, daß sie sich in keinem Punkte r auf der 

 Peripherie von y annulliert, so bekommen wir die Entwicklung (2) a). 



Euüetin international. XXI. 3 



