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Die Funktionen 6* {z) sind dabei durch das Integral (4) definiert. 

 Es kann leicht bewiesen werden, daß dieses Integral eine im ganzen 

 Bereiche K-^ analytische Funktion darstellt. Das Integral kann nämlich 

 auf die Form 



bM{z)=^ ^ S{T,z)dr (4 bis) 



r 

 schematisiert werden. Die Funktion S (r, z) ist eine stetige für beide 

 Veränderlichen r und z, solange nur r auf der Peripherie von y und z im 

 k^ verbleibt. Erteilt man ferner t einen beliebigen Wert, so verhält sich 

 5 (r, z), als Funktion von z allein betrachtet, im Bereiche k^ analytisch. 

 Daraus kann man schließen, daß bk {z) eine in jedem Bereiche Äj analytische 

 Funktion darstellt.^) Aus (4) ist auch ersichtlich, daß bk {z) von F^ {z) 

 unabhängig ist. 



Ganz ähnlich leitet man die Entwicklung (2) ß) ab. Wenn wir 

 nämlich den Punkt z im Bereiche K^, das ist außerhalb C wählen, so be- 

 kommen wir anstatt (3) 



0: 



und anstatt (4) 



1 C Pijg m h{T)g'{r)dt 



27ei} h{T) ■ g{x)—z ^^ ^ 



y 



(4 a) 



2 « O g{r)—z 



V 



Der Bereich h-^ wird dabei gegen den Bereich h^ vertauscht. 



Die Funktionen 6* {z) in (4) und c* {z) in (4a) sind nur scheinbar 

 identisch. In der Formel (4) bedeutet nämlich z einen Punkt im Bereiche 

 üTj. Die Verschiedenheit beider Funktionen begreift man am leichtesten 

 an folgendem Beispiele. 



Wir setzen 



h{x)^\, g(r)=r. 



Die Kurve C, die da durch die Gleichung 



z — X 



gegeben ist, wird zu dem Einheitskreise in der z Ebene. Durch Ky be-^ 

 zeichnen wir das Innere, durch K^ das Äußere dieses Kreises. 



Die erzeugende Reihe (4) für die Funktionen b^ {z) ist in diesem Falle 



■z X x"- x-^ 



1) Siehe z. B. Osgood: Lehrbuch der Funktionentheorie I. B., 2. Aufl.,. 

 p. 307, 7. Satz. 



