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und also 



K {z) = 0, hk [z) = 0, 



b.k{z) =z^-\ [k = 1,2,3,...)- 



Für Ck (*) ist die erzeugende Entwicklung (4 a) 



1 1 r r2 



X — z 

 und also 



•••, \z\>\r\ 





c.k{z) =0, (^ = 1,2,3,...). 



Die entsprechenden Entwicklungen (2) «) und (2 a) y) sind da die 

 Taylorsche und Laurentsche Reihe. Die Reihen (2) ß) und (2 a) d) reduzie- 

 ren sich auf bloße Identitäten = 0. 



Wir haben bisher angenommen, daß die Kurve C geschlossen und ganz 

 im Endlichen gelegen ist. Jetzt wollen wir auch den Fall behandeln, daß 

 sie sich ins Unendliche erstreckt. Wir denken uns den Bereich i^j vollständig 

 begrenzt durch einen Teil der Kurve C und durch einen Kreisbogen k, 

 der den Mittelpunkt im Anfange und einen sehr großen Halbmesser hat. 

 Die Funktion J^j {z) muß dabei die Bedingung erfüllen 



lim z . Fj {z) = einer endl. Konstante. 



Dann bekommen wir anstatt (3) 



F^{t)dt ^ 1 f Fl (0 d t 



1 ^ ' 2 JT O t — z ^ 2ni] t — 



z 



Das erste Integral ist längs des entsprechenden Teiles der Kurve 

 C, das zweite längs des Kreisbogens k genommen. Bei unendlich wach- 

 sendem Halbmesser des letzteren verschwindet das zweite Integral und 

 das erste erstreckt sich dann längs der ganzen Kurve C. Es behalten 

 also die Gleichung (3) und die Entwicklungen (2) a) ß) auch in diesem 

 Falle ihre Gültigkeit. 



Ein analoges Verfahren benützen wir in dem Falle, daß die Kurve 

 C zwar geschlossen ist und ganz im Endlichen Hegt, wir aber die Ent- 

 wicklungen (2 a) für die Funktion Fg (z) ableiten wollen. Den Kreisbogen 

 Versetzen wir durch den ganzen sehr großen Kieis, Mit wachsendem Halb- 

 messer des letzteren konvergiert das längs dieses genommene Integral 

 von Cauchy zur Null, so daß wir da anstatt (3) die Gleichung bekommen 



Fa (t) d t 



2 ^ ' 2 :« I J t — z 



c 



3* 



