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Das negative Zeichen beim Integral wird folgendermaßen begründet. 

 Wenn wir den Bereich Ä', i^ii positiven Sinne umlaufen wollen, so müssen 

 wir uns längs der Kurve C im entgegengesetzten Sinne bewegen als im Falle 

 des positiven Umlaufes des Bereiches K^. Die letzte Gleichung tritt an 

 die Stelle von (3) ; dann benützt man die Entwicklung (4 a) und bekommt 

 die Entwicklung (2 a) y). Ganz ähnlich wird auch die Entwicklung (2 a) â) 

 bewiesen. 



Um den Beweis des Satzes I. zu vervollständigen, müssen wir noch 

 die gleichmäßige und absolute Konvergenz der Reihen (2) und (2 a) 

 beweisen. 



Wir denken uns im Bereiche Ül^ einen kleineren und geschlossenen 

 Äj. Bei der Ableitung der Entwicklung (4) haben wir bewiesen, daß man 

 immer in der r Ebene einen Kreisring â so konstruieren kann, daß in ihm 

 der Bruch 



h (t) . s' ir) 



eine analytische Funktion der Veränderlichen z darstellt, wenn nur z 

 fest im Äj gewählt ist. Die Grenzen des Kreisringes â sind dabei zwei 

 Kreise, von welchen der erste einen Halbmesser besitzt, der größer ist 

 als 1 und der zweite einen Halbmesser, der kleiner ist als 1. Im Innern 

 des Bereiches â denken wir uns einen noch engeren Kreisring â^^. Wir 

 definieren ihn näher durch die Ungleichungen 



l<A^|T|>/i<l. 



In diesem Bereiche und auch in jedem Punkte an seiner Grenze konvergiert, 

 wie bekannt, die Reihe (4) absolut bei festgewähltem z im kj^. Nach dem 

 Cauchyschen Kriterium für absolute Konvergenz müssen also die Un- 

 gleichungen 



y \b.{z)\. \r\^l, y\b.„{z).-j^<l 



erfüllt werden für alle n, die größer sind als eine gewisse endliche und 

 positive Zahl N'. In Verbindung mit den vorausgehenden Ungleichungen 

 für T bekommen wir also das Ergebnis 



Vi bn{z) i<4-<i' \/TM^Sf^<i (5) 



Die Grenze N' ist dabei eine Funktion von z. Wenn also z nacheinander 

 alle Punkte des Bereiches k^ durchläuft, so wird sich dabei N' fortwährend 

 ändern ; sie bleibt aber immer endlich. Wenn wir also mit N die endliche 

 und positive obere Grenze aller diesen Zahlen bezeichnen, so werden die 

 Ungleichungen (5) für jedes 



nyN 



und für jedes z aus dem Bereiche k^ erfüllt. 



