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vergleichen, so sehen wir, daß alle Bedingungen des Weierstraßschen 

 Kriteriums 1) für absolute und gleichmäßige Konvergenz der Reihe 



^Akbk {z) 



Ä = . 00 



im Bereiche ä^ erfüllt sind. 



Durch eine fast unveränderte Betrachtung kann man auch die gleich- 

 mäßige und absolute Konvergenz der übrigen Reihen (2) und {2a) beweisen. 

 Dadurch ist also der Beweis des /. Satzes im ganzen Umfange erledigt, 



Die Entwicklungsfunktionen bk {z) und Ck {z) sind in diesem Satze 

 durch Kurvenintegrale definiert. Es wird uns aber in vielen Fällen gelingen, 

 die Laurentsche Reihe der Funktion 



h{T).g'{T) 



g{r)-Z 



anders zu verwirklichen, 2) wodurch wir auch zur bequemeren Definition 

 der bk [z] und Ch [z] gelangen. 



Mit Hilfe der Ungleichungen (5) sind wir im Stande den folgenden 

 Satz zu beweisen. 



Satz II. Wenn die Reihe der sonst beliebigen Konstanten Ak die Unglei- 

 chungen erfüllt 



für alle Indexe k, die größer sind als eine endliche und positive Zahl A^, so konver- 

 gieren absolut und gleichmäßig die Reihen 



00 00 



V Ak bk [z) , V Ak Ck {z) , 



ft= - OD k= - <X> 



und zwar die erste in jedem Bereiche ^i und die zweite in jedem Bereiche k^. Es 

 definiert also die erste Reihe eine im K^ und die zweite eine im K^ analytische 

 Funktion. 



Wir haben gesehen, daß uns jede Funktion Fi {z) oder F^ {z) zu einer 

 Nullentwicklung (2) ß) oder (2a) d) führt. In manchen Fällen 3) reduzieren 

 sich diese Nullentwicklungen auf bloße Identitäten 0=0; aber es ge- 

 schieht nicht immer so. Ist z. B. keine der Funktionen bk [z) für ein 

 positives oder negatives k identisch gleich Null, so existiert eine unbe- 

 schränkte Anzahl von nicht identisch verschwindenden Nullentwicklun- 



1) Siehe z. B. Osgood. I. c. p. 96. 



2) Siehe II., § 2, § 4 und III. 



3) III. § 3. 



