39 



gen. Für h{v) =1 können wir sogar eine solche Entwicklung direkt ab- 

 leiten. Sie lautet 



ft = -00 "'" 



B. 



2 n i J 



^ ^[g (^) — «] * 



Dabei bedeutet a einen beliebigen im Bereiche K^ liegenden Punkt ; 

 der Strich bei dem Summenzeichen soll die Weglassung des Index k = — 1 

 andeuten. 



Der folgende Satz ist nun evident. 



Salz III. Wenn man mindestens eine nicht identisch verschwindende Null- 

 entwicklung [2a.) S) ableiten kann, so existiert für jede Funktion Fj (^) neben der 

 Hauptentwicklung (2) «) eine unbeschränkte Anzahl von Nebenentwicklungen der 

 Form 



F, {z) = ^ [Ak + l Bk) bk [z) . 



k= • OD 



Dabei ist X eine beliebige Konstante. 



Eiû ähnlicher Satz ist auch für jede Funktion F^ {z) gültig. 



II. Entwicklungen, welche zur eineindeutigen und konformen 



Abbildung gehören. 



§ 1. Allgemeine Entwicklungen. 



Wie schon am Anfange gesagt wurde, beschränken wir uns im fol- 

 genden auf die bloße Aufzählung der Resultate. Die Beweise sind in der 

 Originalabhandlung enthalten. 



Die Kurve C sei durch einen einzigen einfachen glatten und geschlos- 

 senen Jordanschen Bogen gegeben. Das Innere bezeichnen wir als K^, 

 das Äußere als Kg- 



Dann ist es immer möglich, eine unbeschränkte Anzahl von folgenden 

 abbildenden Funktionen zu konstruieren. 



Die Gleichung 



2=g(r) (7i) 



soll das Innere und beide Grenzen des Kreisringes «| in der t Ebene 



1 > ^1 < I ^^ I S ^1 > 1 



eineindeutig stetig und, von einigen Punkten der Begrenzung abgesehen, 

 auch konform auf die Umgebung der Kurve C in der z Ebene abbilden. 

 Dabei sollen die Punkte auf der Peripherie des Einheitskreises y in der 



