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t Ebene den Punkten auf der Peripherie der Kurve C in der z Ebene 

 einander entsprechen. 



In jedem Punkte des Bereiches «j ist 



g' [r) + 0, 



von jenen Punkten der Grenze abgesehen, in denen die Abbildung konform 

 zu sein aufhört. Jedem Kreise in der x Ebene, der den Mittelpunkt im 

 Anfange hat und dessen Halbmesser qh die Ungleichungen erfüllt 



^1 < (>Ä < Ri, 



entspricht in der z Ebene eine gewisse Kurve Ck- Wir erteilen dem Halb- 

 messer Qk den Namen ,,das Parameter der Kurve Ca". Diese Kurven 

 haben folgende Eigenschaften: 



1. Jede Kurve C* wird durch einen einzigen glatten und geschlos- 

 senen Jordanschen Bogen gebildet, welcher sich nirgends schneidet. Auch 

 zwei verschiedene Kurven C* schneiden sich nicht. 



2. Die Grenzkurven, welche den Parametern R^ und r-^ entsprechen, 

 können Ecken besitzen und zwar in den Punkten, wo 



g' {r) = 0. 



3. Den Parametern (>* < 1 entsprechen die Kurven eines Bereiches, 

 z. B. Kj^, den Parametern ç& > 1 die Kurven des zweiten Bereiches. 



Das Innere der Kurve Ck bezeichnen wir mit K^^^), das Äußere 

 mit Ka«*). 



Die analytische und sonst beliebige Funktion h (r) sei im Bereiche 



definiert. Im folgenden bezeichnen wir mit R die kleinere der beiden Zahlen 

 7?i, R^, mit r die größere der Zahlen fj, r^ und mit è den Kreisring, welcher 

 von den Kreisen mit den Halbmessern R und r begrenzt ist. 



Satz IV. Die Kurve Ck, welche zum Parameter Qk gehört, teilt die z Ebene 

 in die Bereiche K^W und K^W. 



Jede Funktion F^W (z), welche im K^i'') und in der Umgebung jedes Punktes 

 auf der Kurve Ck sich analytisch verhält, gibt Anlaß zu den Entwicklungen 



OD 



«) Fi(A) {Z) = V^n tn {z) , 



n = - 00 

 OD 



ß) =y\AnCn {z) , 



n= - 00 



An = 





•(7) 



h yt) 



Qk 



Jede Funktion Fj*) [z), welche im KgC*) und in der Umgebung jedes Punktes 

 auf der Kurve C* analytisch i st, gibt Anlaß zu den Entwicklungen 



