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OO OP 



V Dn bn [Z) , V Dn Cn [z) , 



und zwar die erste in jedem Bereiche k^ und die zweite in jedem Bereiche ^,. 



Alle diese Bedingungen sind für die absolute und gleichmäßige Konvergenz 

 hinreichend, aber nicht notwendig. 



§ 2. Polynomische Entwicklungen von Faber. 



Die einfachste Form, welche die Gleichung der Kurve C einnehmen 

 kann, entsteht, wenn die abbildende Funktion 



Z = g{T) 



das ganze Äußere der Kurve C in der z Ebene auf das ganze Äußere des 

 Einheitskreises in der z Ebene abbildet oder wenn diese Abbildung das 

 Innere beider eben genannten Kurven betrifft. Aus der Lehre von der 

 konformen Abbildung ist bekannt, daß im erstgenannten Falle die abbil- 

 dende Funktion die Form hat 



z = at + P (^^) (8) 



Die Potenzreihe 



P ( ) = «0 + ^1 ^~~^ + «2 T-- + . . . 



konvergiert im Bereiche 



\rl>l~V, 



wobei fj eine positive Zahl bedeutet, die kleiner ist als die Einheit. Mit 

 Hinsicht auf (4) erhält man da durch eine kurze Rechnung bei der Wahl 

 h{r) = l 



b.i{z) = 1; bn {z) =0, n^O 



CC.b.n {Z) = b.n + l{z) . {z - CIq) - è-„+2 [z) . üy -. . .- b.i{z) . «„-2- (« - 2) «„-2 J (9) 



n>2. 



Es ist also b.n{z) ein Po'ynom [n — l)sten Grades der Größe f -\ , 



dessen erstes Glied ist 



Wir erhalten für Pj<*J {z) eine polynomische Entwicklung von der 

 Torm (7) a), welche im wesentlichen mit der Faberschen^) identisch ist. 

 Die allgemeinste Form der Funktion h (r) ist 



Math. An. 1. c. 



