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h 



A< I r I <x > 1 



(10) 



Die Größe m ist entweder eine positive endliche oder unendliche 

 ganze Zahl oder eine endliche negative ganze Zahl. 



Wir bezeichnen diesmal die zugehörigen Entwicklungsfunktionen 

 mit ßn [z), für welche wir die Rekursionsformeln bekommen 



ß^iz) =0, ß,n^k{z) = 0, 



ßm-k [z] = d^h.k iz) + d^.i b.k + i {z) +. . . + d,„.k+i. ô-i [z) 



m endlich, ^ > 1 ; 



ßn {z) = y]dn+kb.k{z), m unendlich, 



Ä = l 



(11) 



wobei b.k{z) durch die Gleichungen (9) bestimmt werden. Bei endlichem 

 m ist also ßn {z) ein Polynom {m — n — l)-ten Grades der Größe 



z — a. 



Wir erhalten für Fj(*)(2) eine Entwicklung der Form (7) a) nach den Funk- 

 tionen (11). 



Dabei ist erstens die Kurve Ck auf die Ungleichungen 



gebunden und zweitens darf der Kreis Qk durch keinen Nullpunkt der 

 Funktion h (r) durchgehen. Über die Bedeutung dieser Punkte für die 

 Nullentwicklungen wird im^ folgenden die Rede sein. 



Der zweite einfache Fall ist durch die konforme Abbildung des Li- 

 nern des Einheitskreises auf das Innere der Kurve C gegeben. Die ab- 

 bildende Funktion ist da 



z=^P{r) (12) 



P (t) = «0 + rt:i r 4- «2 r- + . . . , 



Dabei bedeuten «* und rj andere Zahlen als in (8). 

 Für // (r) — 1 erhalten wir 



^o(^) 



an — z 



, c.„{z)^-0 



Cn iz) {aQ~z) +c„.i (2) rt, H-...+ fo iz) . an = (" + 1) ^« + 1 , 



n> 1. 



;i3) 



