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absolut und gleichmäßig im Inneren der Kurve Ck und auch in der Umgebung jedes 

 Punktes auf dieser Kurve, so kann man eine Funktion G [z) durch die Reihe de" 

 finieren 



m-l 



G[z) = ÄLyC^)]^]--^«^"^^)' 



»= - oc 



die in der Umgebung jedes Punktes auf der Kur\-e Ck sich analytisch verhält und 

 die Eigenschaft besitzt, daß 



'Im J 



h (T) 



Dabei ist y [z) die inverse Funktion zur Gleichung (8). Für das Innere der 

 Kurve Ck ist 



«n-l 



G [t) d t 





»= - » Ck 



Dieser Satz ist nur fürs endliche m gültig. 



Für die Nullentwicklungen nach den Polynomen ßn {z) erhalten wir 

 drei Folgerungen. 



Folgerung I. Existiert überhaupt eine Nullentwicklung 



m-l 



0= Y^Anßn[z), 

 «= -00 



die im Innern der Kurve Ck und in der Umgebung jedes Punktes dieser Kurve ab- 

 solut und gleichmäßig konvergiert, so kann man die Koeffizienten durch folgende 

 gemeinsame Formel ausdrücken 



_ 1 C G\g{z)]t>^dx _ 

 " 2 Jr / J h[x) 



dabei ist G [z) eine Funktion, die sich in der Umgebung jedes Punktes auf der Kurve 

 Ck und in dem ganzen Teile der z Ebene analytisch verhält, den das Äußere der 

 Kurve Ck bildet; außerdem ist 



lim z .G [z) = eine endl. Konstante. 



(. 00 



Folgerung II. Aus den Polynomen (9) oder (11) kann man bei endlichem 

 m keine Nullentwicklungen konstruieren, welche im Innern der Kurve Ck und in 

 der Umgebung jedes Punktes auf dieser Kurve absolut und gleichmäßig konver- 

 giere, solange nur die Funktion h («) keinen Nullpunkt im Äußeren des Kjeibcs 

 qk besitzt. 



Infolgedessen ist jede absolut und gleichmäßig konvergente Entwicklung 

 nach diesen Polynomen eine Hauptentwicklung für eine nicht identisch verschwin- 

 dende analytische Funktion. 



Auf die Frage, wann also die Nullentwicklungen existieren, gibt 

 die Antwort folgende 



