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Folgerung III. Die Nullentwicklungen für das Innere der Kurve Ck nach 

 den Polynomen (11) existieren nur in diesen zwei Fällen: 



1. Die Zahl m ist endlich und die Funktion h (t) hat im Bereiche (10) minde- 

 stens einen Nullpunkt x^, welcher die Ungleichung erfüllt 



I r J > eft . 



2. Die Zahl m ist positiv und unendlich. 



Diese Bedingungen sind für die Existenz der Nullentwicklungen notwendig 

 und hinreichend. 



Wir haben bisher in diesem Paragraphen ausschließlich von den 

 Polynomen (11) gesprochen; alle diese Betrachtungen könnten wir aber 

 fast unverändert auf die Funktionen (14) übertragen. Wir erhalten wieder 

 einen Satz und drei Folgerungea, welche man aus dem Satze VI. und den 

 Folgerungen I., II., IIL folgendermaßen bekommt. Es werden die Worte 

 „das Innere der Kurve Ch" gegen die Worte ,,das Äußere der Kurve Ca" 

 und die Funktionen ,,(11)" — das ist ,,/3„ [z)" — gegen die Funktionen 

 ,,(14)" — das ist ,,yn {^y — vertauscht. 



IIL Entwicklungen, welche zu den rationalen Kurven gehören. 



Die Kurve C sei algebraisch und rational. Die Koordinaten eines 

 beliebigen Punktes auf der Kurve kann man, wie bekannt, mit Hilfe zweier 

 rationalen Funktionen des Parameters i? in der Form ausdrücken 



00 < 1^ < -f 00 . 



Durch die Transformation 



erhalte Q wir daraus eine neue parametrische Gleichung, mit deren Hilfe 

 wir den Ausdruck konstruieren 



, • ^* W 



X -{- ty = 



v{t) 



wobei u (t) und v (r) teilfremde Polynome der Veränderlichen r bedeuten. 

 Dadurch haben wir für die Kurve C eine abbildende Funktion 



^ = ^ = ^w (15) 



konstruiert, welche die Form der Gleichung (1) oder (7j) besitzt. Man kann 

 also dazugehörige Entwicklungen (2), (2a) oder (7) und (7a) für die im 



