47 



Innern oder im Äußern der Kurve C analgetischen Funktionen sofort 

 aufschreiben. Es ist aber dabei möglich, die Entwicklungsfunktionen 

 hk [z) oder c* [z) explicit darzustellen, ohne das Kurvcnintegral benützen 

 zu müssen. Mit Rück^^icht darauf, daß die in der Gleichung (15) auftre- 

 tenden Funktionen n (r) luid v (r) Polynome sind, können ^^ir schreiben 



v{x) =bjT~ß,) (r-/3,)...(r-/3„.), 

 M (t) — z V (t) = «0 (r — «i) (t — ß.,) . . . (r — a„) , 

 m> m. 



.(16) 



Die Zahlen Öq und alle ßk sind von z unabhängige Konstanten, während 

 Uq und alle «* als algebraische Funktionen der Veränderlichen z aufgefaßt 

 werden müssen. Es sei 



und bei festgewähltem z 



[«l|^l«2l <i«3 !<...< I«n| . 



Wenn die Kurve C geschlossen ist und z einen Punkt in ihrem Innern 

 bedeutet, so kann man folgende Sätze beweisen. 



A. Keine von den Zahlen a und ß ist dem absoluten Betrage nach 

 gleich der Einheit. 



B. Bezeichnen wir mit p die Anzahl der Konstanten ß, welche dem 

 absoluten Betrage nach kleiner sind als die Einheit, so sind von den 

 Zahlen a (/>-{- 1) dem absoluten Betrage nach kleiner als die Einheit. Diese 

 Anzahl ist von der Lage des Punktes z im Inenrn der Kurve C unabhängig 

 und jede symmetrische Funktion dieser (/>+ 1) Größen ist für den Bereich 

 K^ eine eindeutige Funktion der Veränderlichen z. 



C. Wenn der Punkt z im Äußern der Kurve C liegt, so ist die An- 

 zahl der Wurzeln a, welche kleiner sind als die Einheit, gleich der Zahl p. 

 Wir wählen die beliebige Funktion am einfachsten, d. i. gleich der 

 Einheit ; dann werden die Funktionen bk {z) durch die Entwicklung (4) 

 definiert 



g-(,) 7^tgW--'J f 1 ^ 1 



g(r)-/ g(r)-z Äi'-«» Ä^-^»' 



also nach dem Vorhergesagten 



-1 



A--QO 



00 



-1- Vt* r/3-(* + i) 4- /3-(* + ^) 4- 4-j5-(* + i) — «-'* + !)_ «-(ft + i) — — a■^''■*■^^^ 



' Zj '-^^ + 1 r'p + 'Z I • • • ' t'm p + Z p + S n 



A-0 



