49 



Jede im Äußern der Ellipse analytische Funktion besitzt also die 

 Entwicklung (2 a) y) 



f, (.) = -^ B. (— ^^,, -r.^ + ö') ^IH — ^m — ) ■ 



Die Nullentwicklung {2a)d) reduziert sich nach der Folgerung II. 

 auf die bloße Identität 0=0. Dagegen existiert immer die Nullent- 

 wicklung (2) ß). So ist z, B. für F^ {z)= z 



1 r r^a+_b)_±_a-b_ 



r 



und also 



2 . A.z=^ a-\-h, 2 . Aq= a — h; 

 im alle übrigen Indexe k ist Ak = 0. Daraus folgt nach (2) ß) 



(a + h) r [a — b) — -r = . 



Die Richtigkeit dieser Gleichung ist evident; man kann anstatt 

 •dessen schreiben 



'z — V^- — a2 + 62 Y 



y-c 



fl + ô / v^+v^-^ — a- + 62 y ' 



Es existieren also unbeschränkt viele Nullentwicklungen von der 

 Form 



.^ Ci^z>EEZ±Zy_vo fiL^YC "+'' Y=o 



^^"\ a+b ) L^"'\a+b)\z+^T=ir+¥) ■ 



wobei die D« beliebige Konstanten bedeuten. Diese Tatsache führt zur 

 folgenden Nebenentwickhing für die Funktion F2 (2) 



OD 



FAz) =5.1 + S 





,2^ft+l 



Die Ellipse wurde als Beispiel nur der Einfachheit halber gewählt. 

 lEbenso leicht könnten wir jede andere rationale Kurve z. B. eine beliebige 

 Epi- oder Hypocykloidc behandeln. Li der Originalabhandlung findet man 

 mehrere Beispiele dieser Art. 



Sulletio international. XXI. 



