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Übrige Teil der Kurve ist dann der Aufriß von imaginär-konj ugierten 

 Punkten der Raumkurve. 



Die Gleichung des Seitenrisses der orthogonalen Rollkurve {q^) 

 erhalten wir durch Elimination von g) aus y und z; die Rechnung ergibt: 



(4) z^ — r y^. 



Der Seitenriß der orthogonalen Rollkurve ist die semikubische Pa- 

 rabel von Neil, oder — nach Longchamps — eine einfach,". Kubik mit 

 einem Kuspidalpunktc , oder auch nach Newman Whipsnake genannt.^) 

 Aus Gründen der Symmetrie zählt dieselbe doppelt ; es ist wieder zu 

 bemerken, daß nur die Punkte für 2: = o bis 2 = r Seitenrisse reeller 

 Punkte der Raumkurve sind, während die übrigen Projektionen konjugiert 

 imaginärer Punkte sind. 



KImogonale Rollkurve. 



Drehen wir den (nichtgezeichneten Kreis) x (Fig. 1) um die Tangente 

 t im Punkte um einen beliebigen Winkel a, so beschreibt der Punkt p 

 den Bogen pm des oben angeführten Kreises t, der in Fig. 1 in der Um- 

 klappung gezeichnet ist. Fällen wir die Senkrechte (w) m^ auf p q^, so ist 

 mj der Grundriß eines beliebigen Punktes der klinogonalen Rollkurve ; 

 da [m) m^ der Abstand des Punktes m von der Ebene X Y ist, erhalten 

 wir leicht den Aufriß w^ und den Seitenriß m^ des Punktes m. Aus der 

 Fig. 1 finden wir: 



tx 



p ;;/,, ^ p q^ — m^ qi = p qi{l — cos a) = 2 ^ q^ sin^ — und daher: 



(5) , -^-7 — ^ = 2 sin- -—- = Const. 



pqi 2 



Die Grundrisse m-^ der Punkte der klinogonalen Rollkurve teilen 

 also die Strecken p q^ zwischen dem Durchmesser ßj 6^ und der Km've {q^ 

 in konstantem Verhältnisse; die Kurve (%) kann daher aus der Kurve 

 {q^ mittelst eines Reduktionswinkels abgeleitet werden. Wir können 

 dieses Resultat auch folgendermaßen formulieren: 



Die veränderliche Strecke ^ ^^ bewegt sich so, daß ihre Endpunkte 

 pi und ^1 den Durchmesser a^ b^ und die Kurve {q-^) beschreiben, und der 

 Punkt %, der die Strecke pq^ in konstantem Verhältnisse teilt, beschreibt 

 die Kurve (Wj). Wir können also die bekannte Konstruktion von Mann- 

 heim^) anwenden, die Normale der Kurve (Wi) in m^ zu konstruieren: 



Sei (i der Punkt, welcher die Strecke <yö in demselben Verhältnisse 

 teilt wie der Punkt m^ die Strecke pq^^, dann ist die Verbindungslinie 



1) Siehe: L o r i a - S c h ü 1 1 e 1. c. Bd. 1, p. 95 uBd. II., p. 23 oder Wie- 

 leitner 1. c. p. 54. 



-) Mannheim: Géom. déscrip. 1880, p. 174. 



