54 



m^n die Normale der Kurve {m^) im Punkte Wj. Den Punkt fi erhalten 

 wir also mittelst desselben Reduktionswinkels. 



Da auf den Geraden f>qi und <? œ die Punkte % und (i zwei ähnliche 

 Reihen bilden, so ist ersichtlich: 



Die Normalen der Grundrisse aller klinogonalen Rollkurven für 

 die Punkte desselben Kreisschnittes Î hüllen eine Parabel ein. 



Bezeichnen wir die Koordinaten des Punktes m in Bezug auf das 

 frühere System ebenfalls mit xyz, dann folgt aus Fig. 1: 



x^r cos (p-\- r sin'^ (p cos qp (1 — cos a), y = r siiv^ (p (1 — cos a) , 

 (6) . „ . 



^ ' z = r sm^ (p sin a . 



Durch Elimination von <p aus je zweien dieser Gleichungen erhalten 

 wir die Gleichungen des Grundrisses, Aufrisses und Seitenrisses der klino- 

 gonalen Rollkurven ; die betreffende Rechnung ergibt: 



4 k^ sin^ -^—Ur^ y^ k^ sin^ -^ ^^^^ "ïï" (^ — ^ ^^^^^ ■^) + 



' r / \3 -| 



+ y2 ^2 L2 h — 4 sw2 ^ j + 16 >'2 sin^ -|- cos'' -^1=0, 



wobei ^2 = oC^ 4- y 2 _. y2 ist. 



(7d) \j cos -^ -\- z sm ■— I [z — r sin a) -\- r x^ sm a cos- — = 



und 



(7c) z^ — r y"^ sin^ a =^ . 



Die klinogonalen Rollkurven sind also ebenfalls Raumkurven sechster 

 Ordnung. 



Ist insbesondere a = 180°, so erhalten wir die Rollung in der Ebene 

 des Grundkreises und auf dem äußerem Umfange desselben. Die Rollkurve 

 heißt dann Nephroide — und zwar nach Proctor, zu unterscheiden von der 

 von Freeth. i) Wir können dieselbe auch ohne Rollung konstruieren, 

 indem wir q^^p = $'1 ^ machen. Die Gleichungen (6) übergeben dann für 

 « =180" in f oleende: 



^ö^ 



(8) X = r cos (p [l -\- 2 sin^ (p), y = 2r sin^ (p, z = 0. 



Durch Elimination des Winkels cp aus x und y erhalten wir die 

 Gleichung der Nephroide: 



4 {x^ + y — f2)3 =. 27 y4 jy2.2) 



Als Kontrolle erhalten wir dieselbe Gleichung, wenn wir in (7a) für 



cc 



— = 90^ setzen. 



1) Lo ria - S chütt e 1. c, Bd. 1, p. 281. 



2) Loria- Schütte 1. c, Bd. 1, p. 281, oder. Wieleithner: Spezielle 

 ebene Kurven 1908 p. 140. 



