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Die Fläche der gemeinen Rolllcurven. 



Alle Rollkurven, welche vom Punkte a ausgehen und allen Werten 

 von « entsprechen, erfüllen eine Fläche, deren Gleichung wir erhalten, 

 indem wir a und <p aus (6) eliminieren ; die betreffende Rechnung ergibt: 



(9) 4.y^k^ + z^k'^^ 18 r^ y^- z^ k^ -\- 4: r^ z^ — 27 r^ y* = 0, 



wobei k^ — x^ -\- y^ + z^ — r^ bedeutet ; daher: 



Die Fläche der gemeinen Rollkurven — • oder kurz die gemeine Roll- 

 fläche — isl achter Ordnung ; dies Resultat war vorauszusehen, da die Ebene 

 X Y die Fläche in dem doppelt zählenden Durchmesser a h und in der 

 Nephroide, die sechster Ordnung ist, also in einer zerfallenden Kurve 

 achter Ordnung schneidet. 



Die Fläche ist zu den Koordinatenebenen XY, X Z und Y Z und 

 daher auch zum Mittelpunkt s symmetrisch. 



Der Mittelpunkt s des Grundkreises ist zugleich der Mittelpimkt 

 der Fläche. 



Durch Einführung homogener Koordinaten erkennen wir leicht: 



Der absolute Kreis im Unendlichen ist eine Doppellinie der Fläche. 



Für z =0 erhalten wir aus (9): 



jy 2= und 4 {x^ + / — r^)^ = 27 r^ y^ . 



Der Schnitt der Fläche mit der Ebene X Y zerfällt also tatsächlich 

 in den doppelten Durchmesser a b und in die Nephroide. 

 Für y —0 erhalten wir aus (9): 



z^ = und [x^ + z^ — r2)2 + 4 r^ ^^ = 0. 



Da in der Ebene X Y nur die Doppelgerade a b vorkommt, so ist in 

 der Ebene X Z außer derselben noch eine Doppelgerade, die ihr unendlich 

 nahe liegt ; mit anderen Worten: 



Der Durchmesser a b ist eine Doppelgerade der Fläche, nach welcher 

 sich die Fläche selbst berührt. Außerdem schneidet die X Z- Ebene die Fläche 

 nach zwei Nullkreisen, die mit den Punkten a und b zusammenfallen. 



Für X —0 zerfällt die Gleichung (9) in das Produkt: 



[^2 + (3; _ rf — ^2] [-22 + (jy + rf — r^] [{z^~ — r'^f + 4 (3;2 + z^) {f' + y^)] = 0. 



Die Y Z- Ebene schneidet die Fläche in zwei Kreisen vom Halbmesser 

 r, welche sich im Punkte s der Z- Achse berühren. 

 Den letzten Faktor kann man auch schreiben: 



{f + 2 y2 + ^-2)2 _ oder: -^ + . ? ^, = 1. 



Die Ebene Y Z schneidet also die Fläche noch in einer Doppellinie 



i r 

 und zwar in einer imaginären Ellipse, deren Halbachsen sind i r und ^_ . 



