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Die Verbindungslinie des Momcntanpoles o mit einem beliebigen Punkte 

 m des entsprechenden Kreisschniites l ist eine Normale der Fläche, und der 

 Rotationskegel o l ist ein Normalkegel der Fläche. 



Sei V der Schnittpunkt der Tangente t = o ç-^ im Momentanpole mit 

 dem Durchmesser a b. Drehen wir den rechten Winkel o pv um die Tan- 

 gente t, so bleibt o p Normale, und daher v p Tangente der Fläche in den 

 Punkten des Kreisschnittes Î; daher: 



Der Rotationskegel v Ï ist der Fläche längs des Kreisschnitfes î um- 

 schrieben. Derselbe Kegel ist die Enveloppe der Tangentialebenen der Fläche 

 in den Punkten des Kreises i. Die Scheitel v aller Rotationskegel, welche 

 der Fläche längs der Kreisschnitte î umschrieben sind, erfüllen die Gerade 

 a b und zwar außerhalb des Grundkreises. 



Mittelst dieser umschriebenen Kegel können wir verschiedene Auf- 

 gaben über Tangentialebenen lösen, ferner die scheinbaren Umrisse der 

 Fläche bestimmen und die Trennungslinie zwischen Licht und Schatten 

 bei paralleler oder zentraler Beleuchtung konstruieren. 



Der scheinbare Umriß im Aufrisse. 



Legen wir [Fig. 3) durch den Scheitel v die Tangentialebene zum 

 Kegel V l, welche zur Ebene X Z senkrecht ist ; ihre Grundrißspur S^ 

 geht durch v und ist senkrecht zur X-Achse. Fällen wir vom Momentanpol 

 die Senkrechte zu S^, so schneidet dieselbe den Kreis Ï im gesuchten 

 Berührungspunkte u. Durch Umklappung des Kreises Ï erhalten wir den 

 Abstand des Punktes u von der X Y- Ebene und daher auch den Aufriß u^ 

 und den Seitenriß u«. Die Verbindungslinie v u.^ ist die Aufrißspur Sg 

 der zur Aufrißebene senkrechten Berührungsebene mit dem Berührungs- 

 punkte u; daher ist Uz ein Punkt des scheinbaren Umrisses der Fläche 

 im Aufrisse, und v Wg ist dessen Tangente, während u ein Punkt des wahren 

 Umrisses ist, der diesem scheinbaren Umrisse im Aufrisse entspricht, 

 nämlich ein Punkt der Raumkurve, längs welcher der aufrißprojizierende 

 Zylinder die Fläche berührt. Bezeichnen wir wieder X: y und z die Koordi- 

 naten des Punktes w, dann finden wir aus Fig. 3 die Werte: 



(10) X = 2 r cos (p, y = r sin (p, z^ =^ r^ [sin^ (p — cos^ (p). 



Durch Elimination von (p aus x und y erhalten wir die Gleichung 

 des Grundrisses dieses wahren Umrisses: 



.(10a) ^ + 4.=.!; daher: 



{A r)- r- 



Der Grundriß des wahren Umrisses, der dem scheinbaren Umrisse im 

 Aufrisse entspricht, ist eine Ellipse mit den Halbachsen 2 r und r; von dieser 

 Ellipse gelten nur gewisse Bogenlängen. 



Durch Elimination von (p aus x und z erhalten wir die Gleichung: 



