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Ml- Den Punkt fx können wir also mittelst desselben Reduktionswinkels 

 erhalten. Aus oben angeführten Gründen umhüllen die Normalen in allen 

 Punkten Wi, welche am Grundrisse desselben Kreises î liegen, eine Parabel, 

 Bezeichnen wir mit x, y, z die Koordinaten des Punktes m in Bezug 

 auf das frühere Koordinatensystem, so ergeben sich aus Fig. 6 die Werte: 



X =^ a cos (p -]- {a sin'^ (p -]- b cos^ 9) cos 9 (1 — cos «), 

 (19) y = b sin (p -\- {a sin^ (p -{- b cos^ (p) sin qp (1 — cos a), 



z =' [a sin- (p -\- b cos- 9) sin a. 



Durch Elimination von q) aus je zwei dieser Gleichungen erhalten 

 wir wieder die Gleichungen des Grund — ■ Auf — und Seitenrisses der 

 klinogonalen Rollkurve, die dem Neigungswinkel a entspricht^ 



4 k^ sin'' y — 4 [2 ^4 4_ (^ + Ô) y3] ^2 ^in^. SL cos' _^ (^ 1 _ 4 ^1^2 ^^ 4- 

 (20a) + .»* (1 — 4 sin^ -^)" [(a + ô)^ (l — 4 sin^ |-) _ 4 a & cos^ -^] — 



— 16 y^ sin'' -^ cos^ ~ö" = ^ » 



dabei bedeutet: 



^2 = ;t2 + / — («2 + fl & + Ô2), 1»^ = }P-X^^ a^f- — «2 &2 



und ü^ = b x' -\- ay^ — a b {a -\- b). 

 Der Grundriß der klinogonalen Rollkurve ist eine trizirkulare Sextik. 



/ K CC \2 (X 



(20b) [z — a sin cc) iz sin -^ -{- ci cos -^) + (^ — b) x^ sin a cos- — = . 



Der Aufriß der klinogonalen Rollkurve ist eine doppelzählende 

 Kubik 



/ cc cc \' Ä 



(20c) {z — b sin cc) iz sin — -\- b cos — j — [a — b) y- sin a cos^ — = 0. 



Der Seitenriß der klinogonalen Rollkurve ist also ebenfalls eine 

 doppelt zählende Kubik. 



Die klinogonalen Rollkiirven sind also ebenfalls Raumkurven sechster 

 Ordnung. 



Im Falle « =180^ erhalten wir die Rollung in der Ebene des Grund- 

 kreises auf dem äußeren Umfange desselben. Die Rollkurve ist bekanntlich 

 die verkürzte Nephroide. Wir können dieselbe auch ohne Rollung erhalten, 

 indem wir die Punkte der Ellipse im 1 80° um die entsprechenden Tangenten 

 des Grundkreises drehen, also p q^ = ^1 w machen, wodurch eine einfache 

 Beziehung zwischen den beiden Kurven fesi gelegt ist. 



Die Gleichungen für a: und y in (19) übergehen dann in folgende: 



, Q x = a cos (p -{- 2 cos fp {a sin- (p -{- b cos- q>), 



y = b sin qp + 2 sin qp {a sin- (p -\- b cos- qp) . 



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