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Eingeschriebene Kugeln. 



Aus demselben Grunde wie oben gilt: 



Die Kuge], deren Mittelpunkt der Momentanpol o, und deren Radius 

 die Normale op der Ellipse ist, ist der Fläche längs des Kreisschnittes Ï 

 eingeschrieben. Diese eingeschriebene Kugel dient insbesondere zur Kon- 

 struktion der Isophoten der Fläche ; aus ihr ergibt sich auch folgende ein- 

 fache Erzeugung der Fläche: 



Bewegt sich eine veränderliche Kugel, so daß ihr Mittelpunkt o den 

 Grundkreis k beschreibt, und welche stets jene Ellipse berührt, welche mit dem 

 Kreise konzentrisch ist und in seiner Ebene liegt, und deren Halbcchsensmnme 

 gleich dem Radius des Grundkreises ist, dann hüllt diese veränderliche Kugel 

 die verkürzte Rollfläche ein. 



Die Hauptkrümmungslinien der Fläche. 



Die Kreisschnitte Î der Fläche bilden die erste Schar der Haupt- 

 kiümmungslinien derselben. Die andere Schar sind also orthogonale 

 Trajektoricn dieser Kreise. Die verkürzte Nephroide und die Ellipse bilden 

 eine zerlallende Hauptkrümmungslinie der zweiten Schar, weil dieselben 

 von allen Kreisen Î senkrecht geschnitten werden. 



Die Erzeugenden aller Berührungskegel v Ï sind senkrecht zu diesen 

 Kreisen, sind daher Tangente.,-; der Hauptkrümmungslinien der zweiten 

 Schar; es gilt somit: 



Die Tangentenflächen aller Hauptkrümmungslinien der zweiten 

 Schar haben ihre gemeinsame Spur in der X Y- Ebene in der oben er- 

 wähnten speziellen Kreuzkurve; dieselben sind also vierter Ordnung. 

 Umgekehrt: jede developpable Fläche, deren Grundrisßpur diese spezielle 

 Kreuzkurve ist und deren Erzeugende die Erzeugenden der Berührungs- 

 kegel VÎ sind, berührt die Rollfläche in ihrer Rückkkehrkante , und diese 

 Rückkehrkante der developpablen Fläche ist eine Hauptkrümmungslinie 

 der zweiten Schar. 



Spezialfall dieser Fläche. 



Ist der beschreibende Punkt der Mittelpunkt des rollenden Kreises, 



r 

 also a = b=—, dann zerfällt die Gleichung (22) in folgende: 



A 



(4 a;2 + 4y + 4 ^2 4- 3 y'^f _ 64 r^ [x"- + y) = o und {x^ + y'^Y = o. 



Die erste Gleichung bedeutet die Wulstfläche, welche umhüllt wird, 



wenn eine Kugel vom Radius -— sich so bewegt, daß ihr Mittelpunkt 



einen Kreis vom Radius r beschreibt ; die zweite Gleichung bedeutet 

 einen unendlich schmalen, doppeltzählenden Rotationszylinder, der mit der 

 Z- Asche zusammenfällt. Die auf der allgemeinen Flächeauftretende doppelt- 

 zählende Hvperbel übergeht in diesem Spezialfälle ebenfalls in die doppelt- 

 zählende Z-Ach^e. 



