III. Die Fläche der verlängerten Rollkurven. 



Rollt der Kreis X am inneren Umfange eines doppelt so großen 

 Kreises k vom Halbmesser r, so daß ihre Ebenen stets zusammenfallen, 

 so beschreibt bekanntlich ein beüebiger Purkt p der Ebene des rollenden. 

 Kreises, der vom äußeren Umfange desselben den Abstand h hat und vom 

 inneren Umfange den Abstand a, wobei h<a und a — ■ ö = r ist, eine Ellipse 

 mit den Halbachsen a, b. Dieselbe Ellipse entsteht bekanntlich, wenn die 

 Strecke xy von konstanter Länge r sich so bewegt, daß ihre Endpunkte 

 X, y auf zwei zu einander senkrechten Achsen X, Y gleiten, wobei die Strecke 



Fig. 10 



xy selbst die Astroide umhüllt, welche dem Grundkreise eingeschrieben 

 ist ; dann beschreibt der Punkt p, der dieserhalb x y liegt und von x und y 

 die Abstände b und a hat, wobei a — b =r ist, dieselbe Ellipse. Wir erhalten 

 also diesen Fall aus dem vorhergehenden, indem wir statt eines positiven 

 b ein negatives voraussetzen. Alle Konstruktionen und Gleichungen bleiben 

 wesentlich dieselben; die Kurven jedoch, die in diesem Falle auftreten, 

 und die Fläche selbst ändert ihre Gestalt wesentlich und enthält verschie- 

 dene Einzelheiten, auf die es notwendig ist näher einzugehen. 



Die orthogonale Rollkurve. 



Ihren Grundriß erhalten wir (Fig. 10), indem wir aus dem Ellipsen- 

 punkte p auf die Tangente / im zugehörigen Momentanpole o die Senkrechte 

 fällen, deren Fußpunkt q^ der Grundriß eines beliebigen Punktes q der 



