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Aus dem Früheren folgt für den Halbmesser eines beliebigen Kreis- 

 schnittes Ï der Wert: 



p q^ — a sin^ (p — b cos- (p . 



Für den . Nullkreis oder für die Unihilikalpunkte der Fläche haben 

 wir also die Beziehung: 



. „ , o 1 ^ (l (« -+- b) 



a siffi w — h cos^ fp = 0, oder: cos w = ■ — , 



^ 7- T a -\- 



aus welcher nachstehende einfache Konstruktion der Umbilikalpunkte 

 der Fläche sich ergibt: 



Wir beschrieben (Fig. 11.) auf der Strecke C D, welche vom Scheitel 

 D der großen Halbachse a der Ellipse begrenzt ist, die auf die Achse 



y gedreht ist, und von dem 

 Punkte C des Kreises vom 

 Halbmesser ,« + 6 als Durch- 

 messer einen Kreis, welcher die 

 ^- Achse im Puni; te m schnei- 

 det ; in diesem Punkte m er- 

 richten wir die Senkrechte, 

 welche den Kreis vom Halb- 

 messer n + 6 im Punkte o' 

 schneidet ; ergänzen wir das 

 Rechteck smo'n', dann ist 

 m n' die gemeinsame Tangente 

 der Ellipse und Astroide. Fäl- 

 len wir vom Punkte o' die 

 Senkrechte o' p auf m n' , dann 

 ist p der Berührungspunkt der 

 Ellipse und der Astroide. 

 Fig. 11. Die erste Genauigkeits- 



kontrolle ist, daß o' p die Tan- 

 gente des Grundkreises vom Halbmesser a — ô im Punkte o sein muß, der 

 auf dem Halbmesser n s liegt. Ergänzen wir das Rechteck s x o y, dann 

 haben wir zweite Kontrolle, daß die Diagonale x y durch p geht, und dritte 

 Kontrolle, daß die Strecke m p = x p= b ist. 



Aus den Gleichungen für die Koordinaten eines beliebigen Punktes 

 der verlängerten Fläche erkennen wir, daß diese Umbilikalpunkte die 

 Koordinaten haben: 



a-][. 



y 



' a 



z = 0. 



a -\- b ' a + è 



Aus diesen Gleichungen ergibt sich eine ebenso einfache Konstruktion 

 des UmbilJkalpunktes p. Die anderen Umbilikalpunkte s'mà zu dem 

 eben gefundenen symmetrisch in Bezug auf X und Y. Der Umbilikalpunkt 

 P ist offenbar der gemeinsame Schnittpunkt der Ellipse, der verlängerten 



