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Durch c und h — ^h^ ist in der Ebene y z der Kegelschnittbüschel 

 E gegeben. Unsere Aufgabe wird es jetzt sein, denjenigen Kegelschnitt 

 k-^ desselben zu konstruieren, welcher durch den Punkt 9 geht. Hiemit 

 haben wir die Konstruktion von k^ auf ein. bekanntes Problem zurück- 

 geführt und könnten sie als erledigt betrachten. Indes streben wir hier 

 eine einfache Konstruktion an, welche auf den Satz von Pascal zurück- 

 zuführen wäre. 



8. Wir wollen von der allgemeinen Aufgabe ausgehen: Gegeben 

 sind (Fig. 3) in einer Ebene zwei Kegelschnitte h, c und ein auf keinem 

 von ihnen gelegener Punkt R ; man soll den durch R und die Schnittpunkte 

 von h und c bestimmten Kegelschnitt k konstruieren. Dabei setzen wir 

 voraus, daß die Schnittpunkte von b und c nicht direkt gegeben sein 

 müssen und also auch imaginär sein können. 



Wir führen durch R eine Gerade, welche h in den Punkten B^, B^ 

 und eine andere, welche c in den Punkten C^, C^ reell schneidet und ziehen 

 die Geraden J5j Q, ßg C"p- Die erste von ihnen möge h noch in ßg und c 

 noch in C^, die zweite möge h noch in B,^ und c noch in C4 schneiden. Wir 

 haben so zu den Sehnen B^ B^, Q C^ dieser Kegelschnitte die neuen Sehnen 

 ßg B^, Cg C4 erhalten und es schneiden sich die Geraden dieser neuen 

 Sehnen im Punkte /, während die Gerade der Sehne Cg C4 die ursprünglich 

 geführte Gerade 5j B^ im Punkte // schneidet und die Gerade B^ B^ 

 mit Ci C2 den Schnittpunkt III gibt. 



Man erkennt nun, daß die Punkte /, //, /// auf dem durch R 

 geführten Kegelschnitte k des durch b und c festgelegten Kegelschnitt- 

 büschels U liegen. 



Dazu betrachten wir das Viereck B^ B^ B^ B^, dessen Ecken einen 

 Kegelschnittbüschel festlegen. Dieser Büschel wird von der Geraden 

 R III in einer Involution geschnitten. Ein Paar dieser Involution wird 

 durch b, ein zweites Paar durch B^ B^ und B.^ B^ ausgeschnitten ; dieses Paar 

 sind nun die Schnittpunkte Cj, Cg von R III mit c. Und ein drittes Paar 

 wird durch die Schnittpunkte R, III dieser Geraden mit B^ B.^ und B^ B^ 

 gebildet. Es gehört also /// mit R zu einem Paar der durch b und c auf 

 R III festgelegten Involution ; deshalb gehört /// dem Kegelschnitt k 

 an. Analog schließen wir mit Hilfe der Vierecke Cj Cg C4 Cg, B^B^B^B^ 

 daß die Punkte II und / dem Kegelschnitt k angehören. 



Die Geraden B^^ C^, B^ C^ schneiden b noch in den Punkten B^, Bq 

 und c in den Punkten C5, Cg. Nach der soeben erkannten Beziehung 

 schneiden sich die Geraden B^Bq.C^C^ in einem weiteren Punkte IV 

 von k, während die Geraden B^ B^, C5 Cg sich wieder im Punkte // und die 

 Geraden C^ Cg, B^ B^ sich wieder im Punkte /// treffen. Hiedurch ist 

 k durch die 5 Punkte R, I, II, III, IV festgelegt. 



Sind die Kegelschnitte b, c durch je 5 Punkte beliebig gegeben, so 

 kann man einen von ihnen auf b als den Punkt ßj und einen von ihnen 

 auf c als Cj^ wählen; dann kann man nach einander die Punkte B^, als 



