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Ebene durch Pj gezogene Gerade v schneide die Polaren ä, h von P^ inbezug 

 auf a und h in den Punkten F«, Vß. Projizieren wir die Involution der 

 auf q liegenden zu a konjugierten Punkte von V^ und Vß aus, so erzeugen 

 die Wechselschnitte der Verbindungsgeraden einen Kegelschnitt a-^, welcher 

 q in denselben zwei Punkten schneidet wie a. Desgleichen erzeugen die 

 Wechselschnitte der Verbindungsgeraden von F„, Vß mit den auf q lie- 

 genden zu h konjugierten Punkten einen Kegelschnitt öj, welcher q in den- 

 selben Punkten schneidet wie h. Sind wieder P„, P^ die Schnitte von q 

 mit ä und b, so sind ä und P„ Vß die Tangenten von a^ in den Punkten 

 Va und Vß und ebenso sind h und Pß V„ die Tangenten von ô^ in den 

 Punkten Vß und F„. 



Der durch a-^ und ö^ festgelegte Kegelschnittbüschel schneidet q 

 in derselben Involution wie der Kegelschnittbüschel, welcher durch a und 

 b festgelegt ist, weil ja a und a-^ und ebenso b und öj die Gerade g^ je in dem- 

 selben Punktepaar schneiden. Die durch Pj gehende Gerade v verbindet zwei 

 Grundpunkte des Büschels {a^ bj) ; daraus folgt, daß die Gerade w, welche 

 die übrigen zwei Grundpunkte desselben verbindet, die Gerade q in dem 

 Punkte P2 schneiden wird, welcher mit Pj ein Paar der erwähnten Involu- 

 tion bildet, also dem Kegelschnitt r angehört. 



Die Konstruktion von u, also auch vonPg, kann demnach allgemein, 

 wie folgt, gegeben -werden. 



P« ist der Pol von F« Vß inbezug auf a-^ und Pß inbezug auf &i ; 

 folglich ist q eine Seite des gemeinsamen Polardreiecks von «j und b^ und 

 deshalb ist der zu Pj inbezug auf F„ Vß harmonische Punkt C eine Ecke 

 desselben. Die Gerade u geht duixh diese Ecke. 



Ist auf q irgend einem Punkte A inbezug auf a^, also auch a, der Punkt 

 Aa, inbezug auf b^, und also auch b, der Punkt yl^ konjugiert und einem 

 anderen Punkte B ebenso die Punkte ß«, Bß, so schneiden die Geraden 

 Vß Aa, Vß Aß die Gerade F„ A in den Punkten oc, ß, von denen der erste 

 dem Kegelschnitte «j, der zweite dem Kegelschnitte 6j angehört. Analog 

 schneiden die Geraden F„ ß„, F« Bß die Gerade Vß B in den Punkten 

 a', ß' von ßj beziehungsweise b^. Nach dem bekannten Satze von Ch. Sturm 

 schneiden sich die Geraden aa'. ß ß' in einem Punkte U auf u, so daß 

 w = C7 C die Gerade q in dem gesuchten Punkte Pg trifft. 



Nehmen wir insbesondere A in P„ an, so fällt Aa mit Pj zusammen, 

 und der zu P„ inbezug auf b konjugierte Punkt auf q heiße A ; nehmen 

 wir zugleich Bin Pß an, der zu P^ inbezug auf a konjugierte Punkt heiße 

 B, während der Punkt P„ jetzt mit Pj zusammenfällt. Alsdann ist «^ F« 

 und ß= {VßA .à); analog a' = (F„ ß . b) und ß' = Vß. Somit ist U = 

 = {B Va ■ A Vß) . Da die Punkte C und Pj zu F«, F^ harmonisch liegen 

 und die Gerade u die Punkte U, C verbindet, so gelangt man zu dem 

 früher abgeleiteten Ergebnis, daß Po harmonisch zu Pj inbezug auf 

 A B ist. 



