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Sollten wir nun f hinreichend bestimmen, so könnten wir nach diesem 

 Prinzip seinen auf v liegenden, von P^ verschiedenen Punkt Q leicht 

 ermitteln ; die Tangente von r in Pi geht nach dem Punkte ä . b und ebenso 

 erhalten wir die Tangente in Q, die nach dem Schnittpunkte der Polaren 

 von Q inbezug auf a und h geht. 



6. Insbesondere wollen wir noch die folgende Aufgabe lösen. „In der 

 Ebene sind zweimal zwei konjugiert imaginäre Geraden u, v und s, t durch 

 zwei elliptische Strahleninvolutionen Jj, J^ und außerdem ein Punkt Pj 

 gegeben ; man soll durch Pj und durch die Punkte u . s, u . t, v . s, v . t 

 den Kegelschnitt r legen." 



Wir wissen, daß die Gerade g, welche u.s mit v .t verbindet, reell 

 ist, ebenso wie die Gerade h, welche ii . t mit v . s verbindet ; durch die Kon- 

 struktion dieser Geraden wird unsere Aufgabe auf den Fall zurückgeführt, 

 in welchem der Kegelschnitt r durch zweimal zwei konjugiert imaginäre 

 Punkte G^, G^, H^, H^ auf g resp. h und durch einen reellen Punkt gegeben 

 ist. Diese Punkte sind die Schnittpunkte der Doppelstrahlen von Ji oder 

 Jg rnit g und h. Die Geraden g, h selbst gehen durch den Schnittpunkt 

 der Strahlen i\, j^, welche dem gemeinschaftlichen Strahl / der Büschel 

 von e/j und J^ in beiden Involutionen entsprechen. Ferner gehen sie durch 

 die Schnittpunkte der Strahlenpaare m-^ m^, n^ n^, von denen das erste 

 zu Jj gehört und j^ j harmonisch trennt, während das zweite zu J^ gehört 

 und j^j harmonisch trennt. 



Die Konstruktionen von m^^m^, w^Wg sind jedoch quadratisch, während 

 unsere soeben erläuterte lineare Konstruktion, welche uns den zweiten 

 auf irgend einer Geraden q durch Pj gehenden Schnittpunkt Pg mit r zu 

 ermitteln lehrt, auch hier für unseren besonderen Fall unmittelbar ange- 

 wendet werden kann, wobei zu bemerken ist, daß hier a ^{uv), b^ [s t), 

 und daß die Polare irgend eines Punktes L der Ebene inbezug auf das 

 Geradenpaar uv oder st derjenige Strahl in der Involution, für welche 

 es die Doppelstrahlen darstellt, ist, welcher mit dem durch L gehenden 

 Strahl derselben ein Paar bildet. 



7. Kehren wir noch zur Konstruktion des Punktes P^ im allgemeinen 

 Falle mit Zuziehung der Kegelschnitte a^ und b^ zuiück. Die Involutionen 

 auf q der konjugierten Punktepaare inbezug auf a und b haben ein Ele- 

 mentenpaar E-i^ E2 gemem^chaiüich Folglich sind die Wechselschnitte Fj, 

 F^ der Geraden, welche F« und Vß mit E^ und £3 verbinden, die weiteren 

 zwei gemeinschaftlichen Punkte von a^ und b^. Es trifft also u = (Fj ^"2) 

 die Gerade q in dem gesuchten Punkte Pg. Hiemit sind wir zu der bekannten 

 Konstruktion von Pg gelangt die jedoch quadratisch ist. 



Bemerkung. In unseren linearen Konstruktionen des sechsten 

 Punktes P^ von r zu den auf ihm gegebenen fünf Punkten wurde hier teils 

 der Satz von Sturm, teils auch der Satz von Desargues bezüglich eines 

 Kcgelschnittbüschels herangezogen. Der Satz von Pascal für ein einem 

 Kegelschnitte r eingeschriebenes Sechseck ABC D E F ist gleichfalls 



