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gtihören, so könnsn wir von den Rsgelscharen eines gegebenen Flächen- 

 biischels 2, Ordnung folgenden Satz aussprechen: 



Im Fldohenbüschel 2. Ordnung existieren zu jeder beliebigen Regelschar 

 drei aniere Rigelscharen, welche mit der ersteren immer in einem linearen 

 Komplexe enthalten sind}) 



Z Über lineare Komplexe in ihrem Zusammenhange mit den Flächen des 

 Büschels der Flächen zweiter Ordnung. 



Wir wollen jetzt beweisen, daß die erwähnten drei linearen Kom- 

 plexe, welche durch jede Regelschar «^ des gegebenen Flächenbüschels 

 hindurchgehsn, in Involution sind. Dazu brauchen wir zu zeigen, daß 

 die drei Involutionen: J {»i, ß), J («i.y), J («i, â) von konjugierten Polaren, 

 welche unsere drei linearen Komplexe in den Geraden der Leitschar a^^ 

 der gegebenen Regelschar a^ hervorrufen, ein Tripel von drei sich gegen- 

 seitig stützenden Involutionen bilden. Wenn das der Fall sein soll, so 

 müssen sich die drei Involutionen J («i, ß), J {a^, y), J (a^, â) auf der 

 Regelschar a^ vom Punkte P der Grundkurve ;* durch drei sich gegen- 

 seitig stützende Strahleninvolutionen in einem Punkte Ä^ der ebenen 

 Kurve c'^ projizieren. Es seien ß^, y^, â^ die drei Regelscharen des Flächen- 

 büschels 2, welche mit der Regelschar «^ immer in einem linearen Kom- 

 plexe liegen, und es seien B, C, D die Schntel der drei Strahlenbüschel, 

 welche die Projektionen dieser Regelscharen vom Punkte P auf die Ebene « 

 sind. Nach der letzteren durch die Projekt ion. der Grundkurve r^ gewon- 

 nenen Anordnung sehan wir, daß die vier Punkte A^, BX,D ein Quadrupel 

 von konjugierten Punkten auf der ebenen Kurve c^ bilden. Der Punkt A^ 

 bestimmt je mit einem Punkte von den drei Punkten B, C, D immer ein 

 System tfj, <y^, ö", von oo^ Vierecken, welche sich der Kurve c^ einschreiben 

 lassen, und welche die Punktepaare A-^,B, Ä^C, AxD, immer zu zwei 

 gemeinsamen Gigenecken hab^n. Diese Punktepaare bestimmen dann 

 die drei eindsutigen involutorischen Korrespondenzen Pj, /],, Tg auf der 

 Kurve c^. 



Es ist aus der Theorie dieser Kurven bakannt,^) daß wenn die Ecken 

 eines vollständigen Vierseits auf der c^ liegen, die Gegenecken in einer 

 r gepaart sind. Daraus geht aber sofort hervor, daß durch die Seiten- 

 paare der Vierecke der Systeme u^, <s^, c^, welche durch den Punkt Ai 

 hindurchgehen, die drei involutorischen Korrespondenzen von diesem 

 Punkte Ai projiziert werden. Es bilden dann die drei Systeme von 

 den betrachteten Seitenpaaren drei Strahleninvolutionen, welche 



^) Vergl.: AHarnack: ,,Über die Darstellung der Raumkurve vierter 

 Ordnung erster Species und ihres Secantensjrstemes durch doppelt periodische Funk- 

 tionen." Math. Annalen Bd. 12. Siehe den Satz auf Seite 73. 



') R. Sturm: Die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften IV. 

 pag. 159. 



